Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/428

la somme de tous les termes que l’on obtient, en donnant à $r$ toutes les valeurs entières et positives, depuis $r=0$ jusqu’à $r=a+b-2,$ sera ce que produit la fonction

${\frac {-\mathrm {P} }{\left(1-t'^{2}\right)t'^{2i+1}{\cfrac {d\mathrm {Q} }{dt'}}}}\,;$

nous désignerons cette somme par la caractéristique $\mathrm {S}$ placée devant la fonction $(h).$

Si l’on fait $r'+1=a+b-(r+1),$ on aura

${\begin{aligned}\sin {\frac {(r'+1)\pi }{a+b}}=&\sin {\frac {(r+1)\pi }{a+b}},\\\cos {\frac {(r'+1)\pi }{a+b}}=&-\cos {\frac {(r+1)\pi }{a+b}},\\\cos {\frac {2(r'+1)\pi }{a+b}}=&\cos {\frac {2(r+1)\pi }{a+b}},\\\sin {\frac {(r'+1)a\pi }{a+b}}=&(-1)^{a+1}\sin {\frac {(r+1)a\pi }{a+b}}.\end{aligned}}$

De là il est facile de conclure que, dans la fonction $(h),$ le terme relatif à $r+1$ est le même que le terme relatif à $r'+1\,;$ on peut donc doubler ce terme, et n’étendre alors la caractéristique $\mathrm {S}$ qu’aux valeurs de $r$ comprises depuis $r=0$ jusqu’à $r={\frac {a+b-2}{2}},$ si $a+b$ est pair, ou $r={\frac {a+b-1}{2}},$ si $a+b$ est impair. Cela posé, en observant que

$\sin {\frac {(r+1)a\pi }{a+b}}=(-1)^{r}\sin {\frac {(r+1)b\pi }{a+b}},$

on aura

(H)

$\left\{{\begin{aligned}y_{a,b+2i}=&{\frac {p^{b}\left(p^{a}-q^{a}\right)}{p^{a+b}-q^{a+b}}}\\&-{\frac {2^{b+2i+2}p^{b}(pq)^{i+1}}{a+b}}\mathrm {S} \\&\times {\frac {\sin {\cfrac {2(r+1)\pi }{a+b}}\sin {\cfrac {(r+1)b\pi }{a+b}}\left[\cos {\cfrac {(r+1)\pi }{a+b}}\right]^{b+2i}}{p^{2}-2pq\cos {\frac {2(r+1)\pi }{a+b}}+q^{2}}}.\end{aligned}}\right.$

En changeant $a$ en $b,\ p$ en $q,$ et réciproquement, on aura la probabilité que le joueur $\mathrm {B}$ gagnera la partie avant le coup $a+2i,$ ou à ce coup.