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trièmes puissances qui ne sont pas multipliées par $b+2i+1,$

$\log {\frac {(\cos \varphi )^{b+2i+1}}{\sin \varphi }}=-\log \varphi -{\frac {b+2i+{\frac {2}{3}}}{2}}\varphi ^{2}-{\frac {b+2i+{\frac {2}{3}}}{12}}\varphi ^{4}.$

En faisant donc

$a^{2}={\frac {b+2i+{\frac {2}{3}}}{2}},$

on aura

${\frac {(\cos \varphi )^{b+2i+1}}{\sin \varphi }}={\frac {1-{\cfrac {a^{2}}{6}}\varphi ^{4}}{\varphi }}c^{-a^{2}\varphi ^{2}}\,;$

partant,

$\int {\frac {d\varphi \sin b\varphi (\cos \varphi )^{b+2i+1}}{\sin \varphi }}=\int {\frac {d\varphi \left(1-{\cfrac {a^{2}}{6}}\varphi ^{4}\right)}{\varphi }}\sin b\varphi c^{-a^{2}\varphi ^{2}}.$

Cette dernière intégrale peut être prise depuis $\varphi =0$ jusqu’à $\varphi$ infini ; car elle doit être prise depuis $\varphi =0$ jusqu’à $\varphi ={\frac {1}{2}}\pi \,;$ or, $a^{2}$ étant un nombre considérable, $c^{-a^{2}\varphi ^{2}}$ devient excessivement petit, lorsqu’on y fait $\varphi ={\frac {1}{2}}\pi ,$ en sorte qu’on peut le supposer nul, vu l’extrême rapidité avec laquelle cette exponentielle diminue, lorsque $\varphi$ augmente. Maintenant on a

${\frac {d}{db}}\int {\frac {d\varphi \left(1-{\cfrac {a^{2}}{6}}\varphi ^{4}\right)}{\varphi }}\sin b\varphi c^{-a^{2}\varphi ^{2}}=\int d\varphi \left(1-{\cfrac {a^{2}}{6}}\varphi ^{4}\right)\cos b\varphi c^{-a^{2}\varphi ^{2}}\,;$

on a d’ailleurs, par le n^o 25 du Livre I^er,

${\begin{aligned}\int d\varphi \cos b\varphi c^{-a^{2}\varphi ^{2}}=&{\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}c^{-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}}\\\\\int \varphi ^{4}d\varphi \cos b\varphi c^{-a^{2}\varphi ^{2}}=&{\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}{\frac {d^{4}c^{-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}}}{db^{4}}}\\\\=&{\frac {3{\sqrt {\pi }}}{8a^{5}}}c^{-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}}\left(1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {b^{4}}{12.a^{4}}}\right),\end{aligned}}$

d’où l’on tire, en supposant ${\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=t^{2},$

$\int {\frac {d\varphi \sin b\varphi (\cos \varphi )^{b+2i+1}}{\sin \varphi }}={\sqrt {\pi }}\left[\int dtc^{-t^{2}}-{\frac {tc^{-t^{2}}}{8a^{2}}}\left(1-{\frac {2}{3}}t^{2}\right)\right].$