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Cette expression peut servir à déterminer la probabilité que la somme des inclinaisons à l’écliptique d’un nombre $i$ d’orbites sera comprise dans des limites données, en supposant que, pour chaque orbite, toutes les inclinaisons depuis zéro jusqu’à l’angle droit soient également possibles. En effet, si l’on conçoit que l’angle droit ${\frac {1}{2}}\pi$ soit divisé en un nombre infini $n$ de parties égales, et que $s$ renferme un nombre infini de ces parties, en nommant $\varphi$ la somme des inclinaisons des orbites, on aura

${\frac {s}{n}}={\frac {\varphi }{{\frac {1}{2}}\pi }}.$

En multipliant donc l’expression précédente par $ds$ ou par ${\frac {nd\varphi }{{\frac {1}{2}}\pi }},$ et en l’intégrant depuis $\varphi -\varepsilon$ jusqu’à $\varphi +\varepsilon ,$ on aura

$(o)\quad {\frac {1}{1.2.3\ldots i}}\left\{{\begin{aligned}&\left({\frac {\varphi +\varepsilon }{{\frac {1}{2}}\pi }}\right)^{i}-i\left({\frac {\varphi +\varepsilon }{{\frac {1}{2}}\pi }}-1\right)^{i}\\&\qquad \qquad \qquad +{\frac {i(i-1)}{1.2}}\left({\frac {\varphi +\varepsilon }{{\frac {1}{2}}\pi }}-2\right)^{i}-\ldots \\-&\left({\frac {\varphi -\varepsilon }{{\frac {1}{2}}\pi }}\right)^{i}+i\left({\frac {\varphi -\varepsilon }{{\frac {1}{2}}\pi }}-1\right)^{i}\\&\qquad \qquad \qquad -{\frac {i(i-1)}{1.2}}\left({\frac {\varphi -\varepsilon }{{\frac {1}{2}}\pi }}-2\right)^{i}+\ldots \end{aligned}}\right\}$

c’est l’expression de la probabilité que la somme des inclinaisons des orbites sera comprise dans les limites $\varphi -\varepsilon$ et $\varphi +\varepsilon .$

Appliquons cette formule aux orbites des planètes. La somme des inclinaisons des orbites des planètes à celle de la Terre était de $91^{\circ }{,}4187$ au commencement de 1801 : il y a dix orbites, sans y comprendre l’écliptique ; on a donc ici $i=10.$ Nous ferons ensuite

${\begin{aligned}\varphi -\varepsilon =&0,\\\varphi +\varepsilon =&91^{\circ }{,}4187.\end{aligned}}$

La formule précédente devient ainsi, en observant que ${\frac {1}{2}}\pi$ ou le quart de la circonférence est de $100^{\circ },$

${\frac {1}{1.2.3\ldots 10}}(0{,}914187)^{10}.$

C’est l’expression de la probabilité que la somme des inclinaisons des orbites serait comprise dans les limites zéro et $91^{\circ }{,}4187,$ si toutes les inclinaisons étaient également possibles. Cette probabilité est donc