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$y$ étant ici égal à ${\frac {2{\sqrt {n}}}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {2xx'}}}}c^{-{\frac {nl^{2}}{2xx'}}},$ les différentielles successives de $y$ acquièrent pour facteur ${\frac {nl}{2xx'}},$ et ses puissances. Ainsi, $l$ étant supposé ne pouvoir être au plus que de l’ordre ${\sqrt {n}},$ ce facteur est de l’ordre ${\frac {1}{\sqrt {n}}},$ et par conséquent ses différentielles, divisées par les puissances respectives de $dl,$ décroissent de plus en plus ; en négligeant donc, comme on l’a fait précédemment, les termes de l’ordre ${\frac {1}{n}},$ on aura, en faisant commencer avec $l$ les deux intégrales finies et infiniment petites, et désignant par $\mathrm {Y}$ le plus grand terme du binôme,

$\sum y=\int ydl-{\frac {1}{2}}y+{\frac {1}{2}}\mathrm {Y} .$

La somme de tous les termes du binôme $\left[p+(1-p)\right]^{n},$ compris entre les deux termes équidistants du plus grand terme du nombre $l$ étant égale à $\sum y-{\frac {1}{2}}\mathrm {Y} ,$ elle sera

$\int ydl-{\frac {1}{2}}y,$

et si l’on y ajoute la somme de ces termes extrêmes, on aura, pour la somme de tous ces termes,

$\int ydl+{\frac {1}{2}}y.$

Si l’on fait

$t={\frac {l{\sqrt {n}}}{\sqrt {2xx'}}},$

cette somme devient

$(o)\qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int dtc^{-t^{2}}+{\frac {\sqrt {n}}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {2xx'}}}}c^{-t^{2}}.$

Les termes que l’on a négligés étant de l’ordre ${\frac {1}{n}},$ cette expression est d’autant plus exacte que $n$ est plus grand ; elle est rigoureuse lorsque $n$ est infini. Il serait facile, par l’analyse précédente, d’avoir égard aux termes de l’ordre ${\frac {1}{n}}$ et des ordres supérieurs.