aura,
boules blanches après le tirage
est
et la probabilité qu’alors il sortira une boule noire est
parce que le nombre des boules noires de l’urne est
la probabilité de l’événement composé est donc
c’est la seconde partie de
Ainsi l’on a
![{\displaystyle y_{x,r+1}={\frac {x+1}{n}}y_{x+1,r}+{\frac {n-x}{n}}y_{x,r}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829e90a36fd86a1f02acfe48bb2b929064d9dddc)
Si l’on fait
![{\displaystyle x=nx'\qquad r=nr',\qquad y_{x,r}=y_{x',r'},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2d8ae89777fdedb4d8c9305830193b00b939b0)
cette équation devient
![{\displaystyle y'_{x',r'+{\frac {1}{n}}}=\left(x'+{\frac {1}{n}}\right)y'_{x'+{\frac {1}{n}},r'}+(1-x')y_{x',r'}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c29da887337ea59138b204ff90f9236e307242d4)
étant supposé un très grand nombre, on peut réduire en séries convergentes
et
on aura donc, en négligeant les carrés et les puissances supérieures de ![{\displaystyle {\frac {1}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a126f6f7054892e58105908b66f5ab1e937e4c)
![{\displaystyle {\frac {1}{n}}{\frac {\partial y'_{x',r'}}{\partial r'}}={\frac {x'}{n}}{\frac {\partial y'_{x',r'}}{\partial x'}}+{\frac {1}{n}}y'_{x',r'}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b8d6d60691f5ff94b14c41b25e2caa16841684)
l’intégrale de cette équation aux différences partielles est
![{\displaystyle y'_{x',r'}=c^{r'}\varphi \left(x'c^{r'}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd6feb99287a4de4187f5b5f16ee7ebc3b3924fd)
étant une fonction arbitraire de
qu’il faut déterminer par la valeur de ![{\displaystyle y'_{x',0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e23063f4adeec41add087e5f2f60643c58e6444)
Supposons que l’urne
ait été remplie de cette manière. On projette un prisme droit dont la base, étant un polygone régulier de
côtés, est assez étroite pour que le prisme ne retombe jamais sur elle. Sur les
faces latérales,
sont blanches et
sont noires, et l’on met dans l’urne
à chaque projection, une boule de la couleur de la face sur laquelle le prisme retombe. Après
projections, le nombre des boules blanches sera à fort peu près, par le numéro précédent,