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que $i,$ toutes les puissances de $\mu$ dans $\mathrm {U} _{i}$ sont moindres que $2i'\,;$ chacun des termes de $\mathrm {U} ,$ donnera donc, par ce qui précède, un résultat nul dans l’intégrale $\int \mathrm {U} _{i}\mathrm {U} _{i'}d\mu c^{-\mu ^{2}}.$ Le même raisonnement a lieu pour l’intégrale $\int \mathrm {U} '_{i}\mathrm {U} '_{i'}d\mu c^{-\mu ^{2}}.$

Mais ces intégrales ne sont pas nulles, lorsque $i=i'.$ On les obtiendra dans ce cas de cette manière. On a, par ce qui précède,

$\mathrm {U} _{i}={\frac {2^{i}\left({\sqrt {-1}}\right)^{2i}\int dsc^{-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}}{1.3.5\ldots (2i-1){\sqrt {\pi }}}}.$

Le terme qui a pour facteur $\mu ^{2i}$ dans cette expression est

${\frac {2^{i}\left({\sqrt {-1}}\right)^{2i}\mu ^{2i}}{1.3.5\ldots (2i-1)}}\,;$

or on peut ne considérer que ce terme dans le premier facteur $\mathrm {U} _{i}$ de l’intégrale $\int \mathrm {U} _{i}\mathrm {U} _{i}d\mu c^{-\mu ^{2}}\,;$ car les puissances inférieures de $\mu ,$ dans ce facteur, donnent un résultat nul dans l’intégrale. On a donc

$\int \mathrm {U} _{i}\mathrm {U} _{i}d\mu c^{-\mu ^{2}}=$

${\frac {2^{2i}}{\left[1.3.5\ldots (2i-1)\right]^{2}{\sqrt {\pi }}}}\iint \mu ^{2i}d\mu dsc^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}.$

On a, en intégrant par rapport à $\mu ,$ depuis $\mu =-\infty$ jusqu’à $\mu =\infty ,$

${\begin{aligned}\iint &\mu ^{2i}d\mu dsc^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}\\=&{\frac {2i-1}{2}}\iint \mu ^{2i-2}d\mu dsc^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}\\&+{\frac {2i}{2}}\iint \mu ^{2i-1}d\mu dsc^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i-1}.\end{aligned}}$

Le premier terme du second membre de cette équation est nul par ce qui précède ; ce membre se réduit donc à son second terme. On trouve de la même manière que l’on a

${\begin{aligned}\iint &\mu ^{2i-1}d\mu dsc^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i-1}\\=&{\frac {2i-1}{2}}\iint \mu ^{2i-2}d\mu dsc^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i-2},\end{aligned}}$