Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/500

En intégrant ces équations, et supposant qu’à l’origine les prix respectifs de chaque urne, ou les nombres des boules blanches qu’elles contiennent, soient

$\lambda _{0},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{e-1},$

on parvient à ce résultat, qui a lieu depuis $i=0$ jusqu’à $i=e-1,$

$z_{i}={\frac {1}{e}}\mathrm {S} c^{-\left(1-\cos {\frac {2s\pi }{e}}\right)r'}\left\{{\begin{aligned}&\lambda _{0}\quad \cos \left({\frac {2si\pi }{e}}-ar'\right)\\+&\lambda _{1}\quad \cos \left[{\frac {2s(i-1)\pi }{e}}-ar'\right]\\+&\lambda _{2}\quad \cos \left[{\frac {2s(i-2)\pi }{e}}-ar'\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\lambda _{e-1}\cos \left[{\frac {2s(i-e+1)\pi }{e}}-ar'\right]\end{aligned}}\right\},$

le signe $\mathrm {S}$ s’étendant à toutes les valeurs de $s,$ depuis $s=1$ jusqu’à $s=e,$ et $a$ étant égal à $\sin {\frac {2s\pi }{e}}.$ Le terme de cette expression, correspondant à $s=e$ est indépendant de $r',$ et égal à ${\frac {1}{e}}\left(\lambda _{0}+\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{e-1}\right),$ c’est-à-dire à la somme entière des boules blanches des urnes divisée par leur nombre. Ce terme est la limite de l’expression de $z_{i},$ d’où il suit qu’après un nombre infini de tirages les prix de chaque urne sont égaux entre eux.