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ou

$s\mathrm {S} p^{(i)2}>\left(\mathrm {S} p^{(i)}\right)^{2}.$

En effet, $2pp^{(1)}$ est moindre que $p^{2}+p^{(1)2},$ puisque $\left(p^{(1)}-p\right)^{2}$ est une quantité positive ; on peut donc, dans le second membre de l’inégalité précédente, substituer, pour $2pp^{(1)},\ p^{2}+p^{(1)2}-f,\ f$ étant une quantité positive. En faisant des substitutions semblables pour tous les produits semblables, ce second membre sera égal au premier, moins une quantité positive.

Le résultat

$z={\frac {\mathrm {S} p^{(i)}\alpha ^{(i)}}{\mathrm {S} p^{(i)2}}},$

auquel correspond le minimum d’erreur moyenne à craindre, est celui que donne la méthode des moindres carrés des erreurs des observations ; car, la somme de ces carrés étant

$(pz-\alpha )^{2}+\left(p^{(1)}z-\alpha ^{(1)}\right)^{2}+\ldots +\left(p^{(s-1)}z-\alpha ^{(s-1)}\right)^{2},$

la condition du minimum de cette fonction, en faisant varier $z,$ donne pour cette variable l’expression précédente ; cette méthode doit donc être employée de préférence, quelle que soit la loi de facilité des erreurs, loi dont dépend le rapport ${\frac {k''}{k}}.$

Ce rapport est ${\frac {1}{6}},$ si $\varphi (x)$ est une constante ; il est moindre que ${\frac {1}{6}},$ si $\varphi (x)$ est variable, et tel qu’il diminue à mesure que $x$ augmente, comme il est naturel de le supposer. En adoptant la loi moyenne des erreurs, que nous avons donnée dans le n^o 15 et suivant laquelle $\varphi (x)$ est égal à ${\frac {1}{2a}}\log {\frac {a}{x}},$ on a

${\frac {k''}{k}}={\frac {1}{18}}.$

Quant aux limites $\pm a,$ on peut prendre pour ces limites les écarts du résultat moyen, qui feraient rejeter une observation.

Mais on peut, par les observations mêmes, déterminer le facteur $a{\sqrt {\frac {k''}{k}}}$ de l’expression de l’erreur moyenne. En effet, on a vu, dans le