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Si l’on compare cette formule à la formule (1), on voit qu’elle se rapproche plus qu’elle de ${\frac {1}{2^{n}}},$ ou de la probabilité qui aurait lieu si les faces des pièces étaient parfaitement égales. Ainsi l’inégalité de ces faces est par là corrigée en grande partie ; elle le serait même en totalité, si $\alpha '$ était nul, ou si les deux faces de la pièce $\mathrm {B}$ étaient parfaitement égales.

$p$ représentant la probabilité de croix avec la pièce $\mathrm {A} ,$ et $q$ celle de pile, la probabilité d’amener croix un nombre impair de fois dans $n$ coups sera

${\frac {1}{2}}\left[(p+q)^{n}\mp (p-q)^{n}\right],$

le signe $-$ ayant lieu si $n$ est pair, et le signe $+$ ayant lieu si $n$ est impair. Faisant $p={\frac {1+\alpha }{2}},\ q={\frac {1-\alpha }{2}},$ la fonction précédente devient

${\frac {1}{2}}\left(1\mp \alpha ^{n}\right).$

Si $n$ est impair et égal à $2i+1,$ cette fonction est

${\frac {1}{2}}\left(1+\alpha ^{2i+1}\right)\,;$

mais, comme on peut y supposer également $\alpha$ positif ou négatif, il faut prendre la moitié de la somme de ses deux valeurs relatives à ces suppositions, ce qui donne ${\frac {1}{2}}$ pour sa véritable valeur ; l’inégalité des faces de la pièce ne change donc point alors la probabilité ${\frac {1}{2}}$ d’amener croix un nombre impair de fois. Mais, si $n$ est pair et égal à $2i,$ cette probabilité devient

(2)

${\frac {1}{2}}\left(1-\alpha ^{2i}\right),$

$\pm \alpha$ étant l’inégalité inconnue de probabilité entre croix et pile ; il y a donc du désavantage à parier d’amener croix ou pile un nombre impair de fois dans $2i$ coups, et par conséquent il y a de l’avantage à parier d’amener l’un ou l’autre un nombre pair de fois.

On peut diminuer ce désavantage en changeant le pari d’amener croix un nombre impair de fois en $2i$ coups, dans le pari d’amener dans le même nombre de coups un nombre impair de ressemblances