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s’il existe, on peut en faire abstraction. Concevons que, sur un très grand nombre $n$ d’enfants, $u$ parviennent à l’âge $x,$ et que, dans le nombre $u,\ y$ n’aient point eu la petite vérole. Concevons encore que sur ce nombre $y,\ iydx$ prennent cette maladie dans l’instant $dx,$ et que, sur ce nombre, $irydx$ périssent de cette maladie. En désignant, comme ci-dessus, par $\varphi$ la probabilité de périr à l’âge $x$ par d’autres causes, on aura évidemment

$du=-u\varphi dx-irydx.$

On aura ensuite

$dy=-y\varphi dx-iydx.$

En effet, $y$ diminue par le nombre de ceux qui, dans l’instant $dx,$ prennent la petite vérole, et ce nombre est, par la supposition, $iydx\,;\ y$ diminue encore par le nombre des individus compris dans $y,$ qui périssent par d’autres causes, et ce nombre est $y\varphi dx.$

Maintenant, si de la première des deux équations précédentes, multipliée par $y,$ on retranche la seconde multipliée par $u,$ et si l’on divise la différence par $y^{2},$ on aura

$d{\frac {u}{y}}=i{\frac {u}{y}}dx-irdx,$

ce qui donne, en intégrant depuis $x$ nul, et observant qu’à cette origine $u=y=n,$

(4)

${\frac {u}{y}}=\left(1-\int irdxc^{-\int idx}\right)c^{\int idx}\,;$

cette équation fera connaître le nombre d’individus de l’âge $x$ qui n’ont point encore eu la petite vérole. On a ensuite

$zdx={\frac {irydx}{u}},$

$uzdx$ étant, comme ci-dessus, le nombre de ceux qui périssent dans le temps $dx,$ de la maladie que l’on considère. En substituant, au lieu