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La quantité que nous avons nommée $v$ dans le numéro cité devient alors

$v=-{\frac {ydx}{dy}}={\frac {pc^{-{\frac {\varepsilon x}{r}}}+1-p}{p(1+\varepsilon )c^{-{\frac {\varepsilon x}{r}}}+(1-p)\left(1+{\cfrac {\varepsilon }{r}}\right)}},$

ce qui donne

${\begin{aligned}\mathrm {U} =&{\frac {1}{1+p\varepsilon +(1-p){\cfrac {\varepsilon }{r}}}},\\{\frac {d\mathrm {U} }{dx}}=&{\frac {p(1-p)\varepsilon ^{2}\left(1-{\frac {1}{r}}\right)}{r\left[1+p\varepsilon +(1-p){\cfrac {\varepsilon }{r}}\right]^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

$\mathrm {U} ,{\frac {d\mathrm {U} }{dx}},\ldots$ étant ce que deviennent $v,{\frac {dv}{dx}},\ldots ,$ lorsque $x$ est nul. Cela posé, la formule (A) citée donnera

$\int dxc^{-\left(1+{\frac {\varepsilon }{r}}\right)x}\left(pc^{-{\frac {\varepsilon x}{r}}}+1-p\right)^{r-1}$

$={\frac {1}{1+p\varepsilon +(1-p){\cfrac {\varepsilon }{r}}}}\left\{1+{\frac {p(1-p)\varepsilon ^{2}\left(1-{\frac {1}{r}}\right)}{r\left[1+p\varepsilon +(1-p){\cfrac {\varepsilon }{r}}\right]}}+\ldots \right\}.$

La formule $(a)$ devient ainsi, à très peu près, lorsque $r$ est un grand nombre.

$k\int {\frac {pd\varepsilon }{1+p\varepsilon }}+\log h$

ou

$k\log(1+p\varepsilon )+\log h.$

Maintenant soit $\mathrm {X}$ la fortune physique correspondante à cette fortune morale ; on a, par ce qui précède,

$k\log \mathrm {X} +\log h,$

pour la fortune morale correspondante à $\mathrm {X} \,;$ en comparant donc ces deux expressions, on aura

$\mathrm {X} =1+p\varepsilon .$