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On peut arriver aux mêmes résultats de cette manière. Soient $a,b,c,d,i,\ldots$ les $n$ numéros. Puisque le témoin se trompe, il ne doit point croire sorti le numéro sorti, et puisqu’il trompe, il ne doit point annoncer comme sorti le numéro qu’il croit sorti. Mettons donc, à la première place le numéro sorti, à la deuxième le numéro que le témoin croit sorti, et à la troisième le numéro qu’il annonce. Parmi toutes les combinaisons possibles des numéros trois à trois, sans exclure celles où ils sont répétés, il n’y a de compatibles avec l’hypothèse présente que celles où le numéro qui occupe la deuxième place n’occupe ni la première, ni la troisième ; telles sont les combinaisons $aba,abc,\ldots .$ Or il est facile de voir que le nombre des combinaisons qui satisfont aux deux conditions précédentes est $n(n-1)^{2}\,;$ car la combinaison $ab$ peut se combiner avec les $n-1$ numéros autres que $b,$ et le nombre des combinaisons $ab,ba,ac$ est $n(n-1).$ Maintenant les combinaisons dans lesquelles le n^o $i$ est annoncé sans être sorti sont de la forme $abi,bai,aci,\ldots ,$ et le nombre de ces combinaisons est $(n-1)(n-2)\,;$ ainsi la probabilité qu’une de ces combinaisons aura lieu est ${\frac {n-2}{n(n-1)}}.$ Les combinaisons dans lesquelles le n^o $i$ étant sorti, il est annoncé, sont de la forme $iai,ibi,\ldots ,$ et le nombre de ces combinaisons est visiblement $n-1\,;$ la probabilité qu’une de ces combinaisons aura lieu est donc ${\frac {1}{n(n-1)}}.$ Il faut multiplier toutes ces combinaisons par la probabilité $(1-p)(1-r)$ de l’hypothèse, et alors on aura les résultats précédents.

Maintenant, pour avoir la probabilité de la sortie du n^o $i,$ on doit faire une somme de toutes les probabilités précédentes, relatives à cette sortie, et la diviser par la somme de toutes ces probabilités, ce qui donne, pour cette probabilité,

${\frac {{\cfrac {pr}{n}}+{\cfrac {(1-p)(1-r)}{n(n-1)}}}{{\cfrac {pr}{n}}+{\cfrac {p(1-r)}{n}}+{\cfrac {(1-p)r}{n}}+{\cfrac {(1-p)(1-r)}{n}}}}$ ou $pr+{\frac {(1-p)(1-r)}{n-1}}$.

Si $r$ est égal à l’unité, ou si le témoin ne se trompe point, la proba-