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voit que cette fonction, développée suivant les coefficients du système des équations (A), est de la forme

${\overline {p\alpha }}+\mathrm {M} {\overline {q\alpha }}+\mathrm {N} {\overline {r\alpha }}+\ldots ,$

le coefficient de ${\overline {p\alpha }}$ étant l’unité. Il suit de là que si l’on résout les équations (A), en y laissant ${\overline {p\alpha }},{\overline {q\alpha }},{\overline {r\alpha }},\ldots$ comme indéterminées, ${\frac {1}{p_{5}^{(2)}}}$ sera, en vertu de l’équation (F), le coefficient de ${\overline {p\alpha }}$ dans l’expression de $z.$ Pareillement, ${\frac {1}{q_{5}^{(2)}}}$ sera le coefficient de ${\overline {q\alpha }}$ dans l’expression de $z'\,;$ ${\frac {1}{r_{5}^{(2)}}}$ sera le coefficient de ${\overline {r\alpha }}$ dans l’expression de $z''\,;$ et ainsi du reste ; ce qui donne un moyen simple d’obtenir $p_{5}^{(2)},q_{5}^{(2)},\ldots \,;$ mais il est plus simple encore de les déterminer ainsi.

D’abord l’équation (F) donne la valeur de $p_{5}^{(2)}$ et de $z.$ Si dans le système des équations (E) on élimine $z$ au lieu de $z',$ on aura une seule équation en $z',$ de la forme

${\overline {q_{5}\alpha _{5}}}=q_{5}^{(2)}z'\,;$

en faisant

$q_{5}^{(2)}=q_{4}^{(2)}-{\frac {{\overline {p_{4}q_{4}}}^{2}}{p_{4}^{(2)}}},\qquad {\overline {q_{5}\alpha _{5}}}={\overline {q_{4}\alpha _{4}}}-{\frac {{\overline {p_{4}q_{4}}}{\overline {p_{4}\alpha _{4}}}}{p_{4}^{(2)}}}.$

Si dans le système des équations (D) on élimine $z$ au lieu de $z'',$ pour ne conserver à la fin du calcul que $z'',$ on aura $r_{5}^{(2)}$ en changeant dans la suite des équations qui, à partir de ce système, déterminent $p_{5}^{(2)},$ la lettre $p$ dans la lettre $r,$ et réciproquement. On aura ainsi

${\begin{aligned}r_{4}^{(2)}=&r_{3}^{(2)}-{\frac {{\overline {p_{3}r_{3}}}^{2}}{p_{3}^{(2)}}},\\{\overline {r_{4}q_{4}}}=&{\overline {r_{3}q_{3}}}-{\frac {{\overline {p_{3}q_{3}}}{\overline {p_{3}r_{3}}}}{p_{3}^{(2)}}},\\q_{4}^{(2)}=&q_{3}^{(2)}-{\frac {{\overline {p_{3}q_{3}}}^{2}}{p_{3}^{(2)}}},\\r_{5}^{(2)}=&r_{4}^{(2)}-{\frac {{\overline {p_{4}q_{4}}}^{2}}{q_{4}^{(2)}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$