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l’égalité à zéro du coefficient de $x^{(n)}$ donne $f^{(n)}=f^{(n+1)}-g^{(n)},$ ou $f^{(n)}=1-g^{(n)}-g^{(n+1)}.$ En comparant cette expression à celle-ci $f^{(n)}=a-g^{(n)}-g^{(n+1)},$ on aura $a=1$. L’erreur de la valeur de $x^{(n+1)}$ sera ainsi

${\begin{aligned}&f^{(1)}\gamma ^{(1)}+f^{(2)}\gamma ^{(2)}+\ldots +f^{(n+1)}\gamma ^{(n+1)}\\+&g^{(2)}\lambda ^{(2)}+g^{(3)}\lambda ^{(3)}+\ldots +g^{(n+1)}\lambda ^{(n+1)}.\end{aligned}}$

Les valeurs de $\gamma ^{(1)},\gamma ^{(2)},\ldots ,\lambda ^{(1)},\lambda ^{(2)},\ldots$ étant évidemment assujetties à la même loi de probabilité, si l’on nomme $s$ cette erreur et si l’on fait

${\begin{aligned}\mathrm {H} &=f^{(1)2}+f^{(2)2}+\ldots +f^{(n+1)2}\\+&g^{(1)2}+g^{(3)2}+\ldots +g^{(n+1)2},\end{aligned}}$

la probabilité de l’erreur $s$ sera proportionnelle, par le n^o 20 du Livre II, à une exponentielle de la forme

$c^{-{\frac {\mathrm {K} s^{2}}{\mathrm {H} }}},$

$\mathrm {K}$ étant une constante dépendante de la loi de probabilité de $\gamma ^{(i)}$ et $\lambda ^{(i)}.$

Il faut maintenant déterminer les constantes de $\mathrm {H} ,$ de manière que $\mathrm {H}$ soit un minimum. Or on a

${\begin{aligned}&\mathrm {H} =\left(1-g^{(2)}\right)^{2}+\left(1-g^{(2)}-g^{(3)}\right)^{2}+\ldots \\&+\left(1-g^{(n)}-g^{(n+1)}\right)^{2}+\left(1-g^{(n+1)}\right)^{2}+g^{(2)2}+g^{(3)2}+\ldots +g^{(n+1)2}\,;\end{aligned}}$

en égalant à zéro le coefficient de la différentielle de $g^{(i)},$ on a

(1)

$g^{(i+1)}+3g^{(i)}+g^{(i-1)}=2.$

Cette équation a lieu depuis $i=3$ jusqu’à $i=n.$ L’égalité à zéro du coefficient de $dg^{(2)}$ donne

$g^{(3)}+3g^{(2)}=2,$

et l’égalité à zéro du coefficient de $dg^{(n+1)}$ donne

$3g^{(n+1)}+g^{(n)}=2,$

ce qui revient à considérer l’équation générale (1) comme ayant lieu