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pour avoir le résultat le plus avantageux, est

${\frac {p^{(i)}}{{\cfrac {k''}{k}}m^{(i)2}+{\cfrac {{\overline {k}}\,''}{\overline {k}}}n^{(i)2}+\ldots }}$

et la probabilité d’une erreur $s$ de ce résultat est proportionnelle à l’exponentielle

$c^{{\frac {-s^{2}}{4}}\mathrm {S} {\frac {p^{(i)2}}{{\frac {k''}{k}}m^{(i)2}+{\frac {{\overline {k}}\,''}{\overline {k}}}n^{(i)2}+\ldots }}}.$

On aura, par la même analyse et par le n^o 22 du Livre II, les facteurs par lesquels on doit multiplier les équations de condition pour avoir les résultats les plus avantageux, quels que soient le nombre des éléments à déterminer et le nombre des genres d’erreurs ; on aura pareillement les lois de probabilité des erreurs de ces résultats.

Supposons que l’on ait, entre deux éléments $x$ et $y,$ l’équation de condition

$l^{(i)}x+p^{(i)}y=a^{(i)}+m^{(i)}\gamma ^{(i)}+n^{(i)}\lambda ^{(i)}+r^{(i)}\delta ^{(i)}+\ldots ,$

$\gamma ^{(i)},\lambda ^{(i)},\delta ^{(i)},\ldots$ étant des erreurs dont les sources sont différentes. En multipliant d’abord cette équation par un système $f^{(i)}$ de facteurs, la réunion de ces produits donnera l’équation finale

$x\mathrm {S} l^{(i)}f^{(i)}+y\mathrm {S} p^{(i)}f^{(i)}=\mathrm {S} a^{(i)}f^{(i)}+\mathrm {S} m^{(i)}f^{(i)}\gamma ^{(i)}+\mathrm {S} n^{(i)}f^{(i)}\lambda ^{(i)}+\ldots .$

En multipliant ensuite l’équation de condition par un autre système $g^{(i)}$ de facteurs, la réunion des produits donnera une seconde équation finale

$x\mathrm {S} l^{(i)}g^{(i)}+y\mathrm {S} p^{(i)}g^{(i)}=\mathrm {S} a^{(i)}g^{(i)}+\mathrm {S} m^{(i)}g^{(i)}\gamma ^{(i)}+\ldots .$

On tire de ces deux équations finales

${\begin{aligned}x=&{\frac {\mathrm {S} a^{(i)}f^{(i)}\mathrm {S} p^{(i)}g^{(i)}-\mathrm {S} a^{(i)}g^{(i)}\mathrm {S} p^{(i)}f^{(i)}}{\mathrm {L} }}\\&+{\frac {\mathrm {S} m^{(i)}f^{(i)}\gamma ^{(i)}\mathrm {S} p^{(i)}g^{(i)}-\mathrm {S} m^{(i)}g^{(i)}\gamma ^{(i)}\mathrm {S} p^{(i)}f^{(i)}}{\mathrm {L} }}.\end{aligned}}$