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peut en obtenir, par les observations mêmes, des valeurs très approchées, de la manière suivante.

Concevons que l’on ait déterminé les éléments $x,y,z,$\ldots par la méthode suivant laquelle on forme les équations finales, en multipliant chaque équation de condition successivement par le coefficient correspondant de chaque élément. Si l’on substitue les valeurs des éléments ainsi déterminées dans l’équation de condition

$l^{(i)}x+p^{(i)}y+\ldots -a^{(i)}=m^{(i)}\gamma ^{(i)}+n^{(i)}\lambda ^{(i)}+\ldots ,$

on aura une équation de cette forme

$\mathrm {R} ^{(i)}=m^{(i)}\gamma ^{(i)}+n^{(i)}\lambda ^{(i)}+\ldots .$

Supposons, pour plus de simplicité, que l’on n’ait que les deux genres d’erreurs $\gamma ^{(i)}$ et $\lambda ^{(i)}\,:$ on multipliera d’abord l’équation précédente par $m^{(i)}.$ En élevant ensuite chaque membre au carré et prenant la somme de toutes les équations ainsi formées, on aura

$\mathrm {S} m^{(i)2}\mathrm {R} ^{(i)2}=\mathrm {S} \left(m^{(i)4}\gamma ^{(i)2}+2m^{(i)3}n^{(i)}\gamma ^{(i)}\lambda ^{(i)}+n^{(i)2}m^{(i)2}\lambda ^{(i)2}\right)^{2}.$

La valeur moyenne de $m^{(i)4}\gamma ^{(i)2}$ est évidemment

${\frac {m^{(i)4}\int \gamma ^{2}d\gamma \varphi (\gamma )}{\int d\gamma \varphi (\gamma )}},$

les intégrales étant prises depuis $\gamma =-\infty$ jusqu’à $\gamma$ infini, ce qui donne ${\frac {2k''m^{(i)4}}{k}}.$ On a pareillement ${\frac {2{\overline {k}}\,''}{\overline {k}}}m^{(i)2}n^{(i)2}$ pour la valeur moyenne de $m^{(i)2}n^{(i)2}\lambda ^{(i)2}.$ On trouve de la même manière que la valeur moyenne de $2m^{(i)3}n^{(i)}\gamma ^{(i)}\lambda ^{(i)}$ est nulle ; on a donc, en substituant au lieu des quantités leurs valeurs moyennes, ce que l’on peut faire avec d’autant plus de précision que le nombre des observations est plus grand,

$\mathrm {S} m^{(i)2}\mathrm {R} ^{(i)2}={\frac {2k''}{k}}\mathrm {S} m^{(i)4}+{\frac {2{\overline {k}}\,''}{\overline {k}}}\mathrm {S} m^{(i)2}n^{(i)2}.$