et celui de
dans le développement de cette dernière fonction sera l’expression de
Or, si l’on réduit d’abord l’expression
en une série ordonnée selon les puissances de
et qu’on la multiplie ensuite par le développement de
il est facile de voir que le coefficient de
dans ce produit est ce que devient la série en y faisant
et s’arrêtant à la puissance
de
et l’on trouvera, pour la valeur de ce coefficient ou de
![{\displaystyle z_{x,x'}=m'^{x'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e4eb38150c35feeb3cd5eb25939497c1c138620)
![{\displaystyle \times \left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {x'}{1}}{\frac {n}{m'}}+{\frac {x'(x'-1)}{1.2}}{\frac {n^{2}}{m'^{2}}}+{\frac {x'(x'-1)(x'-2)}{1.2.3}}{\frac {n^{3}}{m'^{3}}}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {x'(x'-1)\ldots (x'-x+2)}{1.2\ldots (x-1)}}{\frac {n^{x-1}}{m'^{x-1}}}\\&+{\frac {x'}{1}}m\left[1+{\frac {x'}{1}}{\frac {n}{m'}}+{\frac {x'(x'-1)}{1.2}}{\frac {n^{2}}{m'^{2}}}+\ldots \right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {x'(x'-1)\ldots (x'-x+3)}{1.2\ldots (x-2)}}{\frac {n^{x-2}}{m'^{x-2}}}\right]\\&+{\frac {x'(x'+1)}{1.2}}m^{2}\\&\times \left[1+{\frac {x'}{1}}{\frac {n}{m'}}+\ldots +{\frac {x'(x'-1)\ldots (x'-x+4)}{1.2\ldots (x-3)}}{\frac {n^{x-3}}{m'^{x-3}}}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {x'(x'+1)\ldots (x'+x-2)}{1.2\ldots (x-1)}}m^{x-1}\end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce15212b2e7c3ed27053d8d0a2a962cfa52f08b)
En désignant par
la probabilité du joueur
on serait conduit, par les mêmes raisonnements, à une équation semblable aux différences partielles,
![{\displaystyle y_{x,x'}=my_{x-1,x'}+m'y_{x,x'-1}+ny_{x-1,x'-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1593ea715bdf1811d586aa0f8fcb02d1bb6bc45f)
qui donne pareillement pour la variable
une fonction génératrice de la forme
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} _{1}t+\mathrm {A} '_{1}}{1-mt-m't'-ntt'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e124b6b0160035d30a56388ba98394154cc5b020)
et
étant, comme plus haut, des fonctions arbitraires de
et de
que l’on déterminera par les mêmes considérations. En effet la fonction génératrice de
est,
celle de
est l’unité : on formera donc les équations
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} '_{1}}{1-m't'}}={\frac {1}{1-t'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef5609db79d49d13d0199d8a0c7f157f72150c2b)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {A} '_{1}={\frac {1-m't'}{1-t'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a252e89f936e4ea21c56e3a83da4e365e1f90330)