cient de
ou
![{\displaystyle y_{x,x'}=q^{'x-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/863b7c18f448e9fafa6848df9ae2006621875919)
![{\displaystyle \times \left\{{\begin{aligned}&1+{\frac {(x-1)}{1}}\left({\frac {p'+p'_{1}}{q'}}\right)+{\frac {(x-1)(x-2)}{1.2}}\left({\frac {p'+p'_{1}}{q'}}\right)^{2}+\ldots \\&\qquad \qquad +{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-r)}{1.2\ldots r}}\left({\frac {p'+p'_{1}}{q'}}\right)^{r}\\&+{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-r-1)}{1.2\ldots (r+1)}}{\frac {p^{'r+1}}{q^{'r+1}}}\\&\times \left[1+{\frac {(r+1)}{1}}{\frac {p'_{1}}{p'}}+{\frac {(r+1)r}{1.2}}{\frac {p_{1}^{'2}}{p'^{2}}}+\ldots +{\frac {(r+1)r\ldots 2}{1.2\ldots r}}{\frac {p_{1}^{'r}}{p^{'r}}}\right]\\&+{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-r-2)}{1.2\ldots (r+2)}}{\frac {p^{'r+2}}{q^{'r+2}}}\\&\times \left[1+{\frac {(r+2)}{1}}{\frac {p'_{1}}{p'}}+\ldots +{\frac {(r+2)(r+1)\ldots 4}{1.2\ldots (r+1)}}{\frac {p_{1}^{'r-1}}{p^{'r-1}}}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-2r-1)}{1.2\ldots (2r+1)}}{\frac {p^{'2r+1}}{q^{'2r+1}}}\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d09b92e0ef2d1da1a4be3f1bf2963fc9e2bb6b79)
et, dans le cas de
impair ou égal à
![{\displaystyle y_{x,x'}=q^{'x-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/863b7c18f448e9fafa6848df9ae2006621875919)
![{\displaystyle \times \left\{{\begin{aligned}&1+\left({\frac {x-1}{1}}\right)\left({\frac {p'+p'_{1}}{q'}}\right)+{\frac {(x-1)(x-2)}{1.2}}\left({\frac {p'+p'_{1}}{q'}}\right)^{2}+\ldots \\&\qquad \qquad +{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-r)}{1.2\ldots r}}\left({\frac {p'+p'_{1}}{q'}}\right)^{r}\\&+{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-r-1)}{1.2\ldots (r+1)}}{\frac {p^{'r+1}}{q^{'r+1}}}\\&\times \left[1+\left({\frac {r+1}{1}}\right){\frac {p'_{1}}{p'}}+{\frac {(r+1)r}{1.2}}{\frac {p_{1}^{'2}}{p'^{2}}}+\ldots +{\frac {(r+1)r\ldots 3}{1.2\ldots (r-1)}}{\frac {p_{1}^{'r-1}}{p^{'r-1}}}\right]\\&+{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-r-2)}{1.2\ldots (r+2)}}{\frac {p^{'r+2}}{q^{'r+2}}}\\&\times \left[1+{\frac {(r+2)}{1}}{\frac {p'_{1}}{p'}}+\ldots +{\frac {(r+2)(r+1)\ldots 5}{1.2\ldots (r-2)}}{\frac {p_{1}^{'r-2}}{p^{'r-2}}}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-2r)}{1.2\ldots (2r)}}{\frac {p^{'2r}}{q^{'2r}}}\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66d9c80e0b2fd14012994666f057ecbf2173af90)
Il est visible que le joueur
ne peut espérer de gagner qu’au tant que
est plus grand que
soit que
égale
ou
et effectivement, hors de cette supposition, les valeurs précédentes de
deviennent toutes égales à l’unité.
Nous ferons aussi remarquer que le joueur
a nécessairement gagné la partie lorsque le joueur
aura tiré
boules noires avant d’avoir atteint
points ; mais ce dernier joueur peut encore avoir perdu avant d’avoir amené la totalité de ce nombre de boules noires, ce qui fait que cette question n’est point susceptible de rentrer dans celle qui est traitée dans la Théorie analytique, à la suite du problème des partis, comme précédemment une supposition semblable nous a conduits à ce dernier problème.
3. Le problème des partis ayant été l’objet des recherches de deux