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développement de sa fonction génératrice,

$z_{a-n,s'}={\frac {(a-n+1)(a-n+2)\ldots (a-n+s')}{1.2.3\ldots s'}},$

ce qui donne

$t^{a-n}t^{'a'-n'}{\frac {\mathrm {A} '_{1}t'}{1-t'}}=t^{a-n}t^{'a'-n'}{\frac {(a-n+1)\ldots (a+a'-n-n'+1)}{1.2.3\ldots (a'-n'+1)}}$

$\times \left[{\begin{aligned}t'&+{\frac {(a+a'-n-n'+2)t'^{2}}{a'-n'+2}}+\ldots \\&+{\frac {(a+a'-n-n'+2)\ldots (a+a'-n-n'+x')t^{'x'}}{(a'-n'+2)\ldots (a'-n'+x')}}+\ldots \end{aligned}}\right].$

Le second membre de cette équation multiplié par ${\frac {1}{1-{\cfrac {t}{1-t'}}}}$ sera donc la fonction génératrice de $z_{s,s'}\,;$ en la développant par rapport aux puissances de $t$ et ensuite par rapport à celles de $t',$ il est aisé de voir que le coefficient de $t^{s}$ ou de $t^{a-n+x}$ est

${\begin{aligned}&t^{'a'-n'}{\frac {(a-n+1)\ldots (a+a'-n-n'+1)}{1.2.3\ldots (a'-n'+1)}}\\&\times \left[t'+{\frac {(a+a'-n-n'+2)}{a'-n'+2}}t'^{2}+\ldots \right]\\&\times \left[1+{\frac {x}{1}}t'+{\frac {x(x+1)}{1.2}}t'^{2}+\ldots +{\frac {x(x+1)\ldots (x+x'-2)}{1.2\ldots (x'-1)}}t^{'x'-1}+\ldots \right],\end{aligned}}$

et que celui de $t^{'s'}$ ou de $t^{'a'-n'+x'}$ dans cette dernière expression, ou $z_{s,s'},$ est égal à

${\frac {(a-n+1)\ldots (a+a'-n-n'+1)}{1.2.3\ldots (a'-n'+1)}}$

$\times \left[{\begin{aligned}&{\frac {x(x+1)\ldots (x+x'-2)}{1.2\ldots (x'-1)}}\\&\qquad +{\frac {(a+a'-n-n'+2)}{a'-n'+2}}\ {\frac {x(x+1)\ldots (x+x'-3)}{1.2\ldots (x'-2)}}+\ldots \\&\qquad +{\frac {(a+a'-n-n'+2)\ldots (a+a'-n-n'+x')}{(a'-n'+2)\ldots (a'-n'+x')}}\end{aligned}}\right]$

Maintenant, en multipliant cette valeur de $z_{s,s'}$ par

${\frac {1.2.3\ldots (a'-n'+x')}{(a'-n'+x+1)\ldots (a+a'-n-n'+x+x')}},$