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Maintenant on pourrait définir l’écriture « $a=\wedge$ » en disant qu’elle signifie que « a est contenu dans une $\mathrm {Cls}$ quelconque » ; en symboles

121.                    $a=\wedge \,:\,=\,:\,s\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\,\supset \,.\,a\supset s$

Mais nous voulons isoler le symbole « $\wedge$ » [37] ; à cet effet, dans la $\mathrm {P}$ 121 remplaçons « $a=\wedge$ » par « $a\,\varepsilon \,\iota \,\wedge$ » [$\mathrm {P}$ 60], en obtenant

$a\,\varepsilon \,\iota \,\wedge \,:\,=\,:\,s\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\,\supset \,.\,a\supset s$

d’où [60]

$\iota \,\wedge =a\,$$\varepsilon$$\,[s\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\,\supset \,.\,a\supset s]$

d’où (VI) la P

122.                    $\wedge =\$$\iota$$\,a\,$$\varepsilon$$\,[s\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\,\supset \,.\,a\supset s]$(VII)

c’est-à-dire « $\wedge$ » est « cet a qui est contenu (extensivement) dans toute $\mathrm {Cls}$ », à savoir « rien » ; ainsi on définit le symbole « $\wedge$ » par les symboles déjà définis « $\supset \,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \$$\iota$ » (I) (III) (V) (VI)^[1].

132. Pour définir le symbole « $\lnot$ » devant une $\mathrm {Cls}$ [70], je me sers d’une $\mathrm {P}$ qui se trouve déjà dans le Formulaire, et dans laquelle sont employés les symboles « $\iota \,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,\wedge$ » que j’ai déjà définis (II), (III), (V), (VII) :

123.                    $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\,\supset \,.\,\lnot a=x\,$$\varepsilon$$\,[a\smallfrown \iota \,x=\wedge ]$(VIII)

c’est-à-dire si a est une $\mathrm {Cls}$, alors « $\lnot a$ » désigne l’ensemble desx tel que a et « $\iota \,x$ » [$\mathrm {P}$ 64] sont disjointes [40], c’est-à-dire l’ensemble des individus qui n’appartiennent pas à a.

Maintenant, on peut définir la négation d’une appartenance, au moyen de la P, qui se trouve déjà dans le Formulaire,

124.                    $a\,\varepsilon \,Cls\,:\,\supset \,:\,\lnot (x\,\varepsilon \,a)\,.\,=\,.\,x\,\lnot \,\varepsilon \,a\,.\,=\,.\,x\,\varepsilon \,\lnot a$(IX)

qui découle des $\mathrm {P}$ 22, 28 et dans laquelle le définissant « $x\,\varepsilon \,\lnot a$ » correspond en même temps aux deux formules définies « $\lnot (x\,\varepsilon \,a)$ » (il n’est pas vrai que x soit un a) et « $x\lnot \,\varepsilon \,a$ » (x n’est pas un a).

Nous savons que toute condition peut acquérir la forme d’une

n’ai pas encore défini et que je définirai par le symbole « $\wedge$ », que je vais définir justement par le symbole « $\iota$ ». Donc, sans ma simplification, on se trouvait dans un cercle vicieux qui forçait à adopter sans Df un des symboles « $\iota$$\,\exists \,\wedge$ ».

1. Dans le Formulaire on trouve une $\mathrm {P}$ presque identique à la (VII)
   $\wedge =\,$$\iota$$\,\mathrm {Cls} \smallfrown a\,$$\varepsilon$$\,[s\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\,\supset \,.\,a\supset s]$

   La petite simplification que j’y ai introduite, et qui d’ailleurs n’était pas nécessaire pour l’exécution de mon plan général de réduction, se fonde sur la $\mathrm {P}$ 55 ; car, s étant une $\mathrm {Cls}$, on ne pourrait avoir « $a\supset s$ » si a aussi n’était pas une $\mathrm {Cls}$, ce qui rend superflu de l’énoncer.