Page:Padoa - La Logique déductive dans sa dernière phase de développement.djvu/109

— 103 —

Enfin, je définis mon symbole « $\mathrm {Elm}$ » [44] par la P

127.$\mathrm {Elm} =a$$\varepsilon$$\,[\exists \,x\,$$\varepsilon$$\,(a=\iota \,x)]$(XVI)

c’est-à-dire « $\mathrm {Elm}$ » est tout symbole a tel qu’on puisse déterminer x de manière que a résulte égal à « $\iota \,x$ » ; on la déduit immédiatement [60] de la $\mathrm {P}$ 67.

Ainsi tous les symboles logiques résultent successivement définis par les trois symboles :

$=\ \smallfrown \$$\varepsilon$

comme j’avais annoncé [17, 127].

133. Ainsi le problème de la construction d’une Idéographie logique est complètement résolu.

Leibniz, le plus grand logicien après Aristote, en a conçu le projet et en a commencé l’exécution [11], qui a été poursuivie par ses disciples Segner et Lambert, et par d’autres savants, notamment De Morgan et Boole [12].

Enfin, surtout au moyen de l’analyse des idées qu’il représenta par les symboles « $\varepsilon \,$$\varepsilon$$\,\iota \,$$\iota$ » [24, 33, 45, 58], M. Peano l’a complétée définitivement ; en effet, son Formulaire démontre que l’idéographie logique suffit désormais à exprimer toutes sortes de propositions [13].

Leibniz, ses disciples et ses continuateurs, en donnant trop d’importance à l’analogie frappante entre certains concepts logiques et certains concepts arithmétiques, les avaient représentés par les mêmes signes [30, 38, 39]. Mais les nombreux manques d’analogie [49, 68, 94, 95] constituaient une violation trop grave au principe de permanence [28], et le double emploi des mêmes signes empêchait toute application de la Logique à l’Arithmétique [30].

Ces considérations ont amené M. Peano à imaginer une idéographie logique complètement distincte de l’idéographie arithmétique. Et, à cet effet, il n’aurait pu choisir un système de signes qui fût plus propre à faire ressortir les deux grandes lois logiques : à savoir,

d’où, en appliquant au second membre les $\mathrm {P}$ 3 et (XI), on obtient la (XV).
xxxxDans le Formulaire, l’écriture « $\exists \,a$ » est définie par la P

$a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,:\,\supset \,:\,\exists \,a\,.\,=\,.\,a\lnot =\wedge$


mais je trouve plus convenable de renfermer la condition « $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ » dans la signification de l’écriture « $\exists \,a$ ».