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23.  $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} .\supset .\lnot a=x\,\varepsilon \,(x\lnot \varepsilon \,a)$

24.  $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} .\supset .(\lnot a)\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$

25.  $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} .\supset .\lnot (\lnot a)=a$

(Leibniz)

J’ajoute la $\mathrm {P}$

26. $(\lnot a)\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} .\supset .a\varepsilon \mathrm {Cls}$.

Si chacune des lettres $x$ et $a$ a une signification déterminée, il peut arriver que « $x\lnot \,\varepsilon a$ » pour deux raisons différentes : il peut se faire que « $a\,\lnot \varepsilon \mathrm {Cls}$ », ou bien que « $x\,\varepsilon (\lnot a)$ » (ce qui implique que « $(\lnot a)\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ » [$\mathrm {P}$ 6] et par suite que « $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ » [$\mathrm {P}$ 26]) ; donc [67] :

27.  $x\,\lnot \varepsilon a:=:a\lnot \varepsilon \mathrm {Cls} .\smallsmile .\varepsilon (\lnot a)$

28.  $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} :\supset :x\lnot \varepsilon a.=.x\,\varepsilon (\lnot a)$

De ce qui précède, il résulte que la négation d’une condition par rapport à $x$ [52] est aussi une condition par rapport à $x$. En effet, si à la condition donnée on donne la forme explicite « $x\,\varepsilon \,a$» [60], alors « $a\,\varepsilon \mathrm {Cls}$» [$\mathrm {P}$ 6] ; et par suite [$\mathrm {P}$ 22 et 28] les formules

« $\lnot (x\,\varepsilon \,a)$»  « $x\,\lnot \varepsilon \,a$»  « $x\varepsilon (\lnot a)$ »

ont toutes la même signification ; et la troisième est bien une condition explicite par rapport à $x$ [60].

71. L’équivalence entre les deux dernières formules confirme, encore une fois, la distinction faite entre les appartenances et les inclusions [33, 34] ; car, si « $a,b\,\varepsilon \,Cls$ », les formules

« $a\lnot \supset b$ »  « $a\supset \lnot b$ »

ont des significations différentes. En effet, tandis que la seconde dit [31 et $\mathrm {P}$ 24] que « tout $a$ est un (non $b$), savoir que aucun $a$ n’est un $b$, la première [69] dit seulement que quelque $a$ n’est pas un $b$, ce qui peut bien arriver même si quelque $a$ est un $b$.

Ainsi, par ex.,  Suisse $\lnot \,\supset$ Genevois

mais non  Suisse $\supset \,(\lnot$ Genevois)

72. Dans le langage courant, lorsqu’il arrive souvent de considérer la $\mathrm {Cls}$ contraire d’une $\mathrm {Cls}$ donnee [70], on lui donne un nom exprès qu’on tire du premier moyennant des règles dont s’occupent les philologues ; mais ce n’est presque jamais la vraie $\mathrm {Cls}$ contraire.

Par exemple, il n’est pas exact que :

 invertebré $=\lnot$ vertébré