Page:Padoa - La Logique déductive dans sa dernière phase de développement.djvu/71

— 65 —

                              $a,\,x,\,y\,\varepsilon \,\mathrm {N} .x\,=\,y\,:\supset :\,a+x\,=\,a+y$(1)
qui, malgré son apparence, n’est pas une vraie $\mathrm {P}$ arithmétique.

En effet, si l’écriture quelconque désignée par u dans la $\mathrm {P}$ 49 est « $a+$ », cette $\mathrm {P}$ devient :
                              $x\,=\,y\,.\supset .a+x\,=\,a+y$(2)

et ainsi la vérité de cette dernière $\mathrm {P}$ reste établie indépendamment de la $\mathrm {Cls}$ à laquelle appartiennent a, x, y et de la signification du symbole « $+$ ». Et réellement : ne resterait-elle pas vraie même si a, x, y, au lieu d’être des $\mathrm {N}$, étaient des nombres d’une espèce différente ou d’autres choses quelconques (par ex., des longueurs, des angles, des volumes, des forces, des vitesses, des poids, des valeurs, etc.) pour lesquelles on eût donné une signification, n’importe laquelle, au signe « $+$ » ? et ne resterait-elle pas vraie même si, au lieu du signe « $+$ », il s’agissait de n’importe quel autre signe d’opération (par ex., « $\times$ », « $-$ », etc.), pourvu que a et x soient des valeurs possibles par rapport à cette opération [94] ?^[1].

La $\mathrm {P}$ (2), ainsi que ses semblables par rapport à un autre signe d’opération, appartient donc aux applications immédiates de la Logique et n’exige aucune autre condition dans l’$\mathrm {Hp}$ ; toute tentative de démonstration de $\mathrm {P}$ de ce type ne saurait être qu’un paralogisme.

86. Il faut encore remarquer que les $\mathrm {P}$ 48, 49, 50 ne sont pas invertissables, c’est-à-dire que « $ux=uy$ » n’implique pas nécessairement « $x=y$ » ; et de même « $xv=yv$ », « $uxv=uyv$ ».

En effet, par ex., du fait que « le père de x = le père de y = » on ne peut pas conclure que « $x=y$ », car x pourrait être un frère ou une sœur de y. Donc, toutes les fois qu’une écriture donnée u est telle que

« $ux=uy$ » implique « $x=y$ »,

ce fait constituera une propriété remarquable de cette écriture u.

C’est pourquoi, par ex., la $\mathrm {P}$
                              $a,\,x,\,y\,\varepsilon \,\mathrm {N} .a+x\,=\,a+y\,:\supset :\,x\,=\,y$(3)

est une vraie $\mathrm {P}$ arithmétique, qui énonce une propriété de l’addition ; en effet, s’il y a d’autres opérations pour lesquelles sont vraies les $\mathrm {P}$ analogues à la (3), il y en a aussi de celles qui n’ont pas la même

1. Car, si « $x=y$ », cette opération sera forcément possible aussi par rapport à a et y, et le résultat ne pourra être que le même d’auparavant.