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115. L’idéographie logique adoptée par M. Peano ajoute aux autres mérites celui très remarquable de rendre très aisée et immédiate la transformation corrélative [111], parce que cette transformation s’obtient en renversant les caractères typographiques qui correspondent aux symboles à transformer^[1].

La loi de dualité, dont il me parait superflu de relever l’importance intrinsèque, nous offre aussi le pourquoi de certains faits que par d’autres voies on n’avait pas expliqués ; par exemple le fait que chacun des signes « $\smallsmile$ » et « $\smallfrown$ » a la propriété distributive par rapport à l’autre (parce que les $\mathrm {P}$ 78 et 79 [95] ont respectivement pour corrélatives les $\mathrm {P}$ 80 et 81), tandis que le signe « $\supset$ » a la propriété distributive (à gauche) par rapport au signe « $\smallfrown$ » mais non (ni à gauche, ni à droite) par rapport au signe « $\smallsmile$ » [97].

En effet la $\mathrm {P}$ 84

$a\supset b\smallfrown c\,:\,=\,:\,a\supset b\,.\,a\supset c$

n’a pas pour corrélative la $\mathrm {P}$ fausse [97]

$a\supset b\smallsmile c\,:\,=\,:\,a\smallsmile b\,.\,\smallsmile \,.\,a\supset c$

mais la $\mathrm {P}$ 87

$b\smallsmile c\supset a\,:\,=\,:\,b\supset a\,.\,c\supset a$

et ainsi la transformation corrélative nous conduit d’une $\mathrm {P}$ dans laquelle entrent deux « $\smallfrown$ » (dont un sous entendu) à une $\mathrm {P}$ dans laquelle entrent un « $\smallsmile$ » et un « $\smallfrown$ » (sous entendu), sans que cela forme aucunement un cas d’exception.

116. Je m’attends a la question suivante : d’où tire-t-on la certitude que, une $\mathrm {P}$ vraie du type considéré [110] étant donnée, sa corrélative [111] aussi doit être vraie ?

Dans quelques éditions du Formulaire (par exemple celle de l’an 1902) on dit que « la loi de dualité dépend des deux points de vue de l’extension et de la compréhension, sous lesquels on peut envisager les « $\mathrm {Cls}$ » [26].

Examinons la valeur de cette explication.

1. Cela est évident pour les signes « $\smallsmile \ \smallfrown$ », « $\wedge \ \vee$ » ; en outre, les signes « $=\ \lnot$ » ne changent pas en les renversant. Le signe « $\supset$ » deviendrait « $\subset$ », et en effet, la formule corrélative de « $a\supset b$ » serait « $a\subset b$ » [31] ; mais l’on préfère écrire à sa place « $b\supset a$ », en conservant ainsi le symbole « $\supset$ » [32] et en échangeant entre elles les variables [111].