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$\mu$ et les numérateurs $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, etc., étant des nombres entiers. On ne changera rien à la chance de tirer une boule blanche de l’urne A_$n$, en y remplaçant les boules qu’elle contient, par un nombre $\alpha _{n}$ de boules blanches et un nombre $\mu$ de boules, tant blanches que noires ; et de même pour toutes les autres urnes. Le nombre total des boules étant actuellement le même dans toutes ces urnes, il résulte du lemme du n^o 10, que si on les réunit dans une même urne A, et que l’on donne le n^o 1 à celles qui proviennent de A₁, le n^o 2 aux boules provenant de A₂, etc., la probabilité $\varpi _{n}$ qu’une boule blanche extraite de l’ensemble de ces urnes A₁, A₁, A₃, etc. provient de A_$n$, est la même que la probabilité qu’une boule blanche sortie de A, portera le n^o $n$ ; laquelle a pour valeur le rapport de $\alpha _{n}$ à la somme des $m$ quantités $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\alpha _{3}$, etc., puisque cette somme est le nombre total des boules blanches qui seront contenues dans A, et que dans cette somme, il y en aura un nombre $\alpha _{n}$ qui portera le n^o $n$. On aura donc aussi

$\varpi _{n}={\frac {\alpha _{n}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+\ldots +\alpha _{n}+\ldots +\alpha _{m}}}$.

quantité qui coïncide, en vertu des équations précédentes, avec l’expression de $\varpi _{n}$ qu’il s’agissait de démontrer.

(29). En calculant les probabilités de plusieurs événements successifs, il faut non-seulement tenir compte de l’influence que peut avoir l’arrivée de l’un d’eux sur la chance de celui qui le suit (n^o 9) ; mais on doit aussi quelquefois avoir égard, dans l’évaluation de cette chance, aux probabilités des diverses causes de l’événement précédent, ou des différentes manières dont il a pu avoir lieu. C’est ce qu’on verra, par exemple, dans le problème suivant.

Je suppose qu’où ait un nombre $m$ d’urnes A, B, C, D, etc., contenant des boules blanches et des boules noires, et que les chances d’extraire une boule blanche soient $a$, de l’urne A, $b$ de B, $c$ de C, etc. On tire au hasard une première boule de l’une de ces urnes, puis une seconde boule de l’une des urnes d’où la première n’est pas sortie, puis une troisième de l’une des urnes d’où les deux premières ne sont pas sorties, etc., c’est-à-dire, qu’après chaque tirage, on supprime l’urne d’où la boule a été extraite. On demande la probabilité d’amener, de