Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/111

et C₂, savoir : la supposition C₁ que les $m$ boules étaient blanches, et la supposition C₂ qu’il y avait une seule boule noire. Dans la première hypothèse, la probabilité de l’événement observé est la certitude ; dans la seconde, cette probabilité, c’est-à-dire la chance d’extraire de B les ${m-1}$ boules blanches est la même que celle d’y laisser la boule noire ; et comme, à priori, la boule restante peut être également chacune des $m$ boules contenues dans B, la probabilité que c’est la boule noire a ${\tfrac {1}{m}}$ pour valeur. On a donc

$p_{1}=1$,$p_{2}={\frac {1}{m}}$ ;

d’où il résulte

$\varpi _{1}={\frac {p_{1}}{p_{1}+p_{2}}}={\frac {m}{m+1}}$,

pour la probabilité de la première hypothèse, ou, ce qui est la même chose, pour la probabilité que la boule restante dans l’urne soit blanche comme toutes celles qui en ont été extraites. Dans le cas de $m=1$, cette valeur de $\varpi _{1}$ se réduit à ${\varpi _{1}={\tfrac {1}{2}}}$, ce qui est évident, à priori.

(33). Voici encore une application immédiate des formules précédentes, dans laquelle on ne connaît pas le nombre total de boules blanches ou noires que l’urne B renferme ; on sait seulement, par exemple, que ce nombre ne peut pas excéder trois. L’événement observé E est la sortie de $x$ boules blanches, dans une série de $n$ tirages où l’on a remis à chaque fois dans B, la boule blanche ou noire qui en était sortie. Si $x$ n’est ni zéro, ni égal à $n$, on ne pourra faire sur les boules contenues dans B que trois hypothèses, savoir : l’hypothèse C₁ d’une boule blanche et d’une noire, C₂ de deux boules blanches et d’une noire, C₃ de deux boules noires et d’une blanche. Les probabilités de E qui répondent à ces trois causes distinctes, seront

$p_{1}={\big (}{\tfrac {1}{2}}{\big )}^{x}{\big (}{\tfrac {1}{2}}{\big )}^{n-x}$,$p_{2}={\big (}{\tfrac {2}{3}}{\big )}^{x}{\big (}{\tfrac {1}{3}}{\big )}^{n-x}$,$p_{3}={\big (}{\tfrac {1}{3}}{\big )}^{x}{\big (}{\tfrac {2}{3}}{\big )}^{n-x}$,

ou, ce qui est la même chose,

$p_{1}={\frac {1}{2^{n}}}$,$p_{2}={\frac {2^{x}}{3^{n}}}$,$p_{3}={\frac {2^{n-x}}{3^{n}}}$ ;