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$r-q={\frac {q\,(1-q)\,(2p-1)}{pq+(1-p)\,(1-q)}}$ ;

ce qui montre que la différence ${r-q}$ est de même signe que ${p-{\tfrac {1}{2}}}$ ; d’où il résulte que le témoignage augmente ou diminue la probabilité de la vérité du fait, qui avait lieu auparavant, selon qu’on suppose ${p>{\tfrac {1}{2}}}$ ou ${p<{\tfrac {1}{2}}}$ : la différence est nulle et le témoignage ne change rien à la probabilité antérieure, dans le cas de ${p={\tfrac {1}{2}}}$, où il y a un contre un à parier que le témoin dit ou ne dit pas la vérité. Lorsque, à priori, on n’a aucune raison de croire plutôt à la vérité qu’à la fausseté du fait que le témoin atteste, la probabilité $q$ est ${\tfrac {1}{2}}$ ; il s’ensuit ${r=p}$ ; et, dans ce cas, la probabilité que le fait est vrai, ne dépend plus que de la véracité et des lumières du témoin.

On ne peut pas supposer que l’une des deux quantités $p$ et $q$ soit l’unité et l’autre zéro ; mais si $p$ approche beaucoup de la certitude et que $q$ approche encore plus de l’impossibilité, de manière que le rapport de $q$ à ${1-p}$ soit une très petite fraction, la probabilité $r$ sera aussi très petite, et à peu près égale à ce rapport. C’est le cas d’un fait contraire aux lois générales de la nature, et attesté par un témoin auquel on accorderait, sans cette opposition, un grand degré de confiance. Ces lois générales sont pour nous le résultat de longues séries d’expériences ; ce qui leur donne, sinon une certitude absolue, du moins une très forte probabilité, encore augmentée par l’harmonie qu’elles présentent, et qu’aucun témoignage ne saurait balancer. Si donc le fait attesté est contraire à ces lois, la probabilité qu’il n’est point inexact sera à très peu près nulle avant le témoignage ; et en supposant même le témoin de bonne foi, il suffira qu’il ne soit point infaillible pour que sa chance d’erreur ${1-p}$ soit extrêmement grande par rapport à cette probabilité antérieure $q$, et que la probabilité $r$, après le témoignage, puisse encore être considérée comme insensible. En pareil cas, il serait raisonnable de rejeter notre propre témoignage, et de penser que nous sommes trompés par nos sens qui nous présenteraient comme vrai, quelque chose de contraire aux lois de la nature.

(37). Supposons que le fait dont nous venons de considérer la probabilité, soit aussi attesté par un second témoin ; désignons par $p'$ la probabilité que ce témoin ne nous trompe pas, et par $r'$ la probabilité de la vérité du fait, résultante du double témoignage ; en observant