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$p_{i}={\frac {u\,(1-v)}{m-1}}+{\frac {v\,(1-u)}{m-1}}+{\frac {(m-2)\,(1-u)\,(1-v)}{(m-1)^{2}}}$,

pour la probabilité complète de l’événement observé, dans une des ${m-1}$ hypothèses contraires à la vérité de cet événement. Cette valeur de $p_{i}$ ; est d’ailleurs liée à celle de $p_{n}$ par l’équation

$p_{n}+(m-1)\,p_{i}=1$,

résultante de ce que la somme des probabilités que le témoin annoncera la sortie du n^o $n$, correspondante aux $m$ hypothèses C₁, C₂, C₃,… C_$m$, doit être égale à l’unité.

Maintenant, par la règle du n^o 34, nous aurons

$\varpi _{n}={\frac {q_{n}p_{n}}{q_{n}p_{n}+\sum q_{i}p_{i}}}$,$\varpi _{i}={\frac {q_{i}p_{i}}{q_{n}p_{n}+\sum q_{i}p_{i}}}$ ;

les sommes $\textstyle \sum$ s’étendant à toutes les valeurs de l’indice $i$, depuis ${i=1}$ jusqu’à ${i=m}$, excepté ${i=n}$. Et comme la quantité $p_{i}$ est indépendante de $i$, et que la somme des valeurs de $q_{i}$, moins celle qui répond à ${i=n}$, est ${\tfrac {\mu -a_{n}}{\mu }}$, l’expression de $\varpi _{n}$ deviendra

$\varpi _{n}={\tfrac {[(m-1)\,uv+(1-u)\,(1-v)]\,(m-1)\,a_{n}}{[(m-1)uv+(1-u)(1-v)](m-1)a_{n}+[(m-1)(1-v)u+(m-1)(1-u)v+(m-2)(1-u)(1-v)](\mu -a_{n})}},$

après qu’on y aura substitué les valeurs de $p_{n}$, $q_{n}$, $p_{i}$, $q_{i}$, et multiplié son numérateur et son dénominateur par ${\mu (m-1)^{2}}$. Ce sera donc la probabilité que le numéro $n$ annoncé par le témoin est réellement sorti de A ; la probabilité qu’il ne l’est pas aura ${1-\varpi _{n}}$ pour valeur ; et, en particulier, celle de la sortie d’un tout autre numéro déterminé $i$ se déduira de l’expression de ${1-\varpi _{n}}$, en la multipliant par le rapport de $q_{i}\,p_{i}$ à ${\textstyle \sum q_{i}p_{i}}$ ou de $a_{i}$ à ${\mu -a_{n}}$ ; en sorte que l’on aura

$\varpi _{i}={\frac {(1-\varpi _{n})a_{i}}{\mu -a_{n}}}$.

On doit remarquer que pour obtenir ces résultats, nous avons admis que quand le témoin se trompe ou qu’il veut tromper, le numéro qu’il annonce est déterminé par le hasard seulement, et non par quelque cause particulière. Il n’en serait pas de même, lorsqu’il veut