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autres limites ; en sorte qu’en désignant celles-ci par $\alpha$ et $\beta$, on aura

$\lambda ={\frac {\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }\mathrm {XY} dx}{\displaystyle \int _{0}^{1}\mathrm {XY} dx}}$.

Dans un calcul d’approximation, on pourra employer cette formule, lorsque le nombre de causes auxquelles l’événement E peut être attribué, au lieu d’être infini, sera seulement très considérable. Supposons, par exemple, que E soit la sortie de $n$ boules blanches, tirées successivement et sans interruption, d’une urne B qui contient un très grand nombre de boules, tant blanches que noires, et dans laquelle, on remet à chaque fois la boule qui en a été extraite. La probabilité $\mathrm {X}$ de E, correspondante à un rapport $x$ du nombre de boules blanches au nombre total de boules contenues dans B, sera la puissance $n$ de ce rapport. Si l’on demande la probabilité que le nombre de boules blanches qu’elle renferme excède celui des boules noires, ou prendra ${\alpha ={\tfrac {1}{2}}}$ et ${\beta =1}$, dans l’expression de cette probabilité $\lambda$. Si, de plus, toutes les valeurs possibles de $x$ étaient également probables avant les tirages, $\mathrm {Y}$ ne variera pas avec $x$, et disparaîtra, en conséquence, de cette expression. On aura donc

$\mathrm {X} =x^{n}$,$\int _{0}^{1}\mathrm {X} dx={\frac {1}{n+1}}$,$\int _{\frac {1}{2}}^{1}\mathrm {X} dx={\frac {1}{n+1}}\left(1-{\frac {1}{2^{n+1}}}\right)$,

et, par conséquent,

$\lambda =1-{\frac {1}{2^{n+1}}}$,

avec d’autant plus d’exactitude que B contiendra un plus grand nombre de boules noires ou blanches. Avant les tirages, il y avait un contre un à parier que le nombre des blanches excédait celui des noires ; il suffira qu’en tirant une boule de B, elle soit blanche pour qu’on ait ${\lambda ={\tfrac {3}{4}}}$, ou qu’il y ait trois à parier contre un pour la supériorité du nombre de boules de cette couleur ; et quand on aura tiré de B un nombre un peu considérable de boules blanches, sans en amener de noires, la probabilité $\lambda$ que les blanches y sont en plus grand nombre que les noires, approchera beaucoup de la certitude.