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tels que l’on ait

p={\frac {g}{k}}

,

q={\frac {h}{k}}

,

g+h=k

,

p+q=1

;

désignons par $m$ , $n$ , $\mu$ , d’autres nombres entiers, liés à $g$ , $h$ , $k$ , par les équations

m=gk

,

n=hk

,

\mu =m+n=(g+h)\,k

,

de manière que les chances $p$ et $q$ soient entre elles comme les nombres $m$ et $n$ , que l’on pourra rendre aussi grands qu’on voudra en augmentant convenablement $g$ , $h$ , $k$ , sans changer leur rapport. Cela posé :

1^o. Dans le développement de ${(p+q)^{\mu }}$ , le terme le plus grand sera celui qui répond au produit $p^{m}q^{n}$ , et comme ce terme est la probabilité de l’arrivée de $m$ fois E et de $n$ fois F (n^o 14), il s’ensuit que cet événement composé, c’est-à-dire, l’arrivée des événements en raison directe de leurs chances respectives, est le plus probable de tous les événements composés qui peuvent avoir lieu dans un nombre quelconque $\mu$ d’épreuves.

2^o. Si ce nombre $\mu$ est très grand, le rapport du plus grand terme du développement de ${(p+q)^{\mu }}$ à la somme de tous les termes, ou à l’unité, sera une très petite fraction, qui diminuera indéfiniment à mesure que $\mu$ augmentera encore davantage ; par conséquent, dans une longue série d’épreuves, l’événement composé le plus probable, le sera cependant très peu, et de moins en moins à mesure que les épreuves seront plus long-temps prolongées.

3^o. Mais si l’on considère dans le développement de ${(p+q)^{\mu }}$ , son plus grand terme, les $l$ termes qui le suivent et les $l$ termes qui le précèdent, et si l’on désigne par $\lambda$ la somme de ces ${2l+1}$ termes consécutifs, on pourra toujours, sans changer ni $p$ ni $q$ , prendre $\mu$ , assez grand pour que la fraction $\lambda$ diffère de l’unité, d’aussi peu qu’on voudra ; et à mesure que $\mu$ augmentera encore davantage, $\lambda$ approchera de plus eu plus d’être égal à un. On conclut de là que dans une longue série d’épreuves, il y a toujours une grande probabilité $\lambda$ que l’événement E arrivera un nombre de fois compris entre les limites ${m\pm l}$ ,