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mais on a identiquement

$1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots 2n-1\,{.}\,2n=2^{n}{.}\,1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n\,{.}\,1\,{.}\,3\,{.}\,5\ldots 2n-1$ ;

on aura, par conséquent,

$1.2.3\!\ldots \!n{.}1.3.5\!\ldots \!2n{-}1=2^{n+1}n^{2n}e^{-2n}{\sqrt {\pi n}}\left(1+{\frac {1}{24n}}+{\text{etc.}}\right)$ ;

et en divisant cette équation membre à membre par l’équation (3), on en conclut

$1.3.5\!\ldots \!2n{-}1=(2n)^{n}e^{-n}{\sqrt {2}}\left(1-{\frac {1}{24n}}+{\frac {1}{1152n^{2}}}+{\text{etc.}}\right)$ ;

(4)

en sorte que l’expression en série du produit des nombres impairs ne renferme plus la quantité ${\sqrt {\pi }}$, qui se trouve dans celle du produit des nombres pairs et impairs.

Si l’on fait ${n=1}$ dans cette équation et dans la formule (3), on en déduit

${\begin{aligned}{\frac {e}{2{\sqrt {2}}}}&=1-{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{1152}}+{\text{etc.}},\\{\frac {e}{\sqrt {2\pi }}}&=1+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{288}}+{\text{etc.}}\end{aligned}}$

Par le calcul direct, on a

${\frac {e}{2{\sqrt {2}}}}=$ 0,96105…, ${\frac {e}{\sqrt {2\pi }}}=$ 1,08444… ;

et ces séries réduites à leurs trois premiers termes, donnent 0,95920 et 1,08680 ; ce qui diffère très peu des valeurs exactes. Ces exemples numériques, joints au précédent, montrent quel degré d’approximation on peut attendre des formules de ce genre, dont on fera un continuel usage dans ce chapitre.