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pour valeur

$\mathrm {U} ={\sqrt {\frac {2}{\pi \mu }}}$ ;

laquelle décroîtra, comme on voit, en raison inverse de la racine carrée du nombre $\mu$. En prenant $\mu =$ 100, on aura

$\mathrm {U} =$ 0,07979,$1-\mathrm {U} =$ 0,92021 ;

en sorte qu’on pourra parier un peu plus de 92 contre 8, que dans 100 épreuves, les événements contraires E et F, tous les deux également probables, n’arriveront pas néanmoins un même nombre de fois. Si l’on eût conservé le second terme de la formule (3), cette dernière expression de $\mathrm {U}$ se trouvait multipliée par ${1-{\tfrac {1}{4\mu }}}$ ; ce qui diminuerait $\mathrm {U}$ d’un 400^e de sa valeur, dans le cas de $\mu =$ 100.

(70). Non-seulement l’événement composé pour lequel les nombres $m$ et $n$ approchent le plus d’être entre eux comme les fractions $p$ et $q$, est toujours le plus probable, mais dans un nombre $\mu$ d’épreuves, donné et supposé très grand, les probabilités des autres événements composés ne commencent à décroître rapidement que quand le rapport ${\tfrac {m}{n}}$ s’écarte de ${\tfrac {p}{q}}$, en plus ou en moins, au-delà d’une certaine limite dont l’étendue est en raison inverse de ${\sqrt {\mu }}$.

En effet, prenons encore pour exemple le cas de ${p=q={\tfrac {1}{2}}}$ ; soit $g$ une quantité donnée, positive ou négative, et moindre que ${\sqrt {\mu }}$, abstraction faite du signe ; si nous faisons, dans la formule (6),

$m={\frac {1}{2}}\mu \left(1+{\frac {g}{\sqrt {\mu }}}\right)$,$n={\frac {1}{2}}\mu \left(1-{\frac {g}{\sqrt {\mu }}}\right)$,

nous en déduirons

$\mathrm {U} =\left(1-{\frac {g^{2}}{\mu }}\right)^{-{\frac {1}{2}}\mu }\left(1-{\frac {g}{\sqrt {\mu }}}\right)^{{\frac {1}{2}}g{\sqrt {\mu }}}\left(1+{\frac {g}{\sqrt {\mu }}}\right)^{-{\frac {1}{2}}g{\sqrt {\mu }}}{\sqrt {\frac {2}{\pi \,(\mu -g^{2})}}}$.