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des rangs déterminés, serait $p^{m}q^{2}$ ; en prenant deux à deux les ${m+1}$ premiers rangs pour y placer F, ou a ${{\tfrac {1}{2}}m(m+1)}$ combinaisons différentes ; la probabilité du troisième cas favorable à G aura donc ${{\tfrac {1}{2}}m(m+1)p^{m}q^{2}}$ pour valeur.

En continuant ainsi, on arrivera enfin au ${n+1}$^ième cas, dans lequel les $\mu$ épreuves amèneront $m$ fois E et $n$ fois F, sans que F occupe le dernier rang, afin que ce cas ne rentre dans aucun des précédents ; et sa probabilité sera

${\frac {m\,{.}\,m+1\,{.}\,m+2\ldots m+n-1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}}p^{m}q^{n}$.

Ces ${n+1}$ cas étant distincts les uns des autres, et présentant toutes les manières différentes dont l’événement G puisse avoir lieu, sa probabilité complète sera la somme de leurs probabilités respectives (n^o 10) ; en sorte que nous aurons

${\begin{aligned}\mathrm {P} =p^{m}{\Big [}1+mq&+{\frac {m\,{.}\,m+1}{1\,{.}\,2}}q^{2}+{\frac {m\,{.}\,m+1\,{.}\,m+2}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}q^{3}+\ldots \\&\qquad \ldots +{\frac {\mu \,{.}\,m+1\,{.}\,m+2\ldots m-n+1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}}q^{n}{\Big ]}\;;\end{aligned}}$

(9)

expression qui doit coïncider avec la formule (8), mais qui a l’avantage de pouvoir se transformer aisément en intégrales définies, dont les valeurs numériques pourront être calculées par la méthode du n^o 67, avec d’autant plus d’approximation que $m$ et $n$ seront de plus grands nombres.

(74). Pour effectuer cette transformation, j’observe qu’en intégrant ${n+1}$ fois de suite par partie, et désignant par $\mathrm {C}$ une constante arbitraire, on aura

${\begin{aligned}\mu \int {\frac {x^{n}dx}{(1+x)^{\mu +1}}}&=\mathrm {C} -{\tfrac {x^{n}}{(1+x)^{\mu }}}-{\tfrac {n}{\mu -1}}{\tfrac {x^{n-1}}{(1+x)^{\mu -1}}}-{\tfrac {n\,{.}\,n-1}{\mu -1\,{.}\,\mu -2}}{\tfrac {x^{n-2}}{(1+x)^{\mu -2}}}\\\ldots &-{\tfrac {n\,{.}\,n-1\,{.}\,n-2\,\ldots \,2\,{.}\,1}{\mu -1\,{.}\,\mu -2\,{.}\,\mu -3\,\ldots \,\mu -n+1\,{.}\,\mu -n}}{\tfrac {1}{(1+x)^{\mu -n}}}.\end{aligned}}$

Comme on a ${\mu >n}$, tous les termes de cette formule, excepté $\mathrm {C}$, disparaissent quand ${x=\infty }$ ; si donc on désigne par $\alpha$ une quantité