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fraction ${\tfrac {1}{\mu }}$, on aura

${\frac {n}{\mu }}=q+u{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}$,${\frac {m}{\mu }}=p-u{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}$ ;

d’où l’on conclut

$\log {\left({\frac {\mu q}{n}}\right)^{\!n}\left({\frac {\mu p}{m}}\right)^{\!m}}=-n\log {\!\left(1+{\frac {u}{q}}{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}\right)}-m\log {\!\left(1-{\frac {u}{p}}{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}\right)}$,

ou, ce qui est la même chose,

${\begin{aligned}\log \left({\frac {\mu q}{n}}\right)^{\!n}&\left({\frac {\mu p}{m}}\right)^{\!m}=-\mu q\log {\!\left(1+{\frac {u}{q}}{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}\right)}-\mu p\log {\!\left(1-{\frac {u}{p}}{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}\right)}\\&-u{\sqrt {2\mu pq}}\left[\log {\!\left(1+{\frac {u}{q}}{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}\right)}-\log {\!\left(1-{\frac {u}{q}}{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}\right)}\right]\;;\end{aligned}}$

or, en développant ces logarithmes, et négligeant toujours les termes de l’ordre de ${\tfrac {1}{\mu }}$, on trouve ${-u^{2}}$ pour la valeur du second membre de cette équation ; par conséquent, nous aurons

$\left({\frac {\mu q}{n}}\right)^{\!n}\left({\frac {\mu p}{m}}\right)^{\!m}=e^{-u^{2}}$ ;

et comme on a aussi, d’après les équations précédentes,

${\frac {mn}{\mu }}=\mu pq$,

la formule (6) deviendra

$\mathrm {U} ={\frac {e^{-u^{2}}}{\sqrt {2\pi \mu pq}}}$ ;

ce qu’il s’agissait de vérifier.

La première valeur de $\mathrm {P}$ du numéro précédent, étant la probabilité que le nombre $n$ ne surpassera pas la limite ${\mu q-r{\sqrt {2\mu pq}}}$, dans laquelle je mets $\mu$ au lieu de ${\mu +1}$, il s’ensuit que si l’on fait ${u=r}$ dans la valeur de $\mathrm {U}$ et qu’on la retranche ensuite de celle de $\mathrm {P}$, la diffé-