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et, en faisant aussi

${\frac {\nu }{\mu }}{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}-{\frac {\alpha }{\sqrt {\mu '}}}=v_{\prime }$,

les valeurs de $p$ et $q$ du numéro précédent pourront s’écrire sous cette forme :

$p={\frac {m'}{\mu '}}-v_{\prime }$,$q={\frac {n'}{\mu '}}+v_{\prime }$.

En les substituant dans la valeur de $\Pi$, il vient

$\Pi =\mathrm {U'} \left(1-{\frac {\mu 'v_{\prime }}{m'}}\right)^{\!m'}\left(1+{\frac {\mu 'v_{\prime }}{n'}}\right)^{\!n'}$.

Les quantités ${\tfrac {\mu 'v_{\prime }}{m'}}$ et ${\tfrac {\mu 'v_{\prime }}{n'}}$ étant de l’ordre de petitesse de la fraction ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu }}}$ ou ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu '}}}$, on aura, en séries très convergentes,

${\begin{aligned}\log {\!\left(1-{\frac {\mu 'v_{\prime }}{m'}}\right)}&=-{\frac {\mu 'v_{\prime }}{m'}}-{\frac {\mu '^{2}v_{\prime }^{2}}{2m'^{2}}}-{\frac {\mu '^{3}v_{\prime }^{3}}{3m'^{3}}}-{\text{etc.}},\\\log {\!\left(1+{\frac {\mu 'v_{\prime }}{n'}}\right)}&={\frac {\mu 'v_{\prime }}{n'}}-{\frac {\mu '^{2}v_{\prime }^{2}}{2n'^{2}}}+{\frac {\mu '^{3}v_{\prime }^{3}}{3n'^{3}}}-{\text{etc.}}\;;\end{aligned}}$

d’où l’on déduit

${\begin{aligned}\left(1-{\frac {\mu 'v_{\prime }}{m'}}\right)^{\!m'}&=e^{-\mu 'v_{\prime }}e^{-{\frac {\mu '^{2}v_{\prime }^{2}}{2m'}}}e^{-{\frac {\mu '^{3}v_{\prime }^{3}}{3m'^{2}}}}{\text{etc.}},\\\left(1+{\frac {\mu 'v_{\prime }}{n'}}\right)^{\!n'}&=e^{\mu 'v_{\prime }}e^{-{\frac {\mu '^{2}v_{\prime }^{2}}{2n'}}}e^{\frac {\mu '^{3}v_{\prime }^{3}}{3n'^{2}}}{\text{etc.}}\end{aligned}}$

Mais à cause du facteur $\mathrm {U'}$ de $\Pi '$, qui est déjà de l’ordre de petitesse de ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu '}}}$, on pourra négliger les quantités de cet ordre dans les deux autres facteurs ; ce qui permettra de réduire toutes les exponentielles à l’unité, à partir de la troisième, dans chacun de ces