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dans le premier cas, nous aurons

$\Pi =1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {2(\mu '+n')}{3{\sqrt {2\pi \mu 'm'n'}}}}e^{-k^{2}}$,

en vertu de la seconde équation (15), et dans le second cas,

$\Pi ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {2(\mu '+n')}{3{\sqrt {2\pi \mu 'm'n'}}}}e^{-k^{2}}$,

en vertu de la première ; $k$ étant une quantité positive donnée par l’équation (12), ou dont le carré est

$k^{2}=n'\log {\frac {n'}{q(\mu '+1)}}+(m'+1)\log {\frac {m'+1}{p(\mu '+1)}}$.

Des valeurs extrêmes de $m'$ et $n'$, et de celles de $p$ et $q$, qui doivent être employées les unes et les autres dans ces formules, il résulte}}

$q={\frac {n'}{\mu '+1}}-v'$,$p={\frac {m'+1}{\mu '+1}}+v'$,

en faisant, pour abréger,

${\frac {\alpha }{\sqrt {\mu '}}}-{\frac {v{\sqrt {2mn}}}{\mu {\sqrt {\mu }}}}-{\frac {n'}{\mu '(\mu '+1)}}=v'$.

Cette quantité $v'$ sera de l’ordre de ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu '}}}$ ; on aura donc, en séries très convergentes,

${\begin{aligned}\log {q}&=\log {\frac {n'}{\mu '+1}}-{\frac {(\mu '+1)v'}{n'}}-{\frac {(\mu '+1)^{2}v'^{2}}{2n'^{2}}}-{\frac {(\mu '+1)v'^{3}}{3n'^{3}}}-{\text{etc.}},\\\log {p}&=\log {\frac {m'+1}{\mu '+1}}+{\frac {(\mu '+1)v'}{m'+1}}-{\frac {(\mu '+1)^{2}v'^{2}}{2(m'+1)^{2}}}+{\frac {(\mu '+1)v'^{3}}{3(m'+1)^{3}}}-{\text{etc.}}\;;\end{aligned}}$

d’où l’on déduit, au degré d’approximation où nous nous arrêtons,

$k^{2}={\frac {\mu '^{3}v'^{2}}{2m'n'}}-{\frac {(m'-n')\mu '^{4}v'^{3}}{3m'^{2}n'^{2}}}$,

et ensuite

$k=\pm k'\left[1-{\frac {2(m'-n')k'}{3{\sqrt {2\mu 'm'^{2}n'^{2}}}}}\right]$,