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coefficients de $dv$ sous les signes $\textstyle \int$, au-delà de la limite assignée à $v$, il s’ensuit que sans altérer sensiblement les intégrales relatives à cette variable, on pourra les étendre, comme plus haut, depuis ${v=-\infty }$ jusqu’à ${v=\infty }$. Soit, en outre,

${\frac {\alpha \mu '}{\sqrt {2m'n'}}}=\pm \beta$,${\frac {\mu '{\sqrt {\mu 'mn}}}{\mu {\sqrt {\mu m'n'}}}}=\gamma$,$t=\theta \mp \gamma v$,$dt=d\theta$ ;

$\beta$ étant une quantité positive, et les signes supérieurs ou inférieurs ayant lieu selon que $\alpha$ sera une quantité positive ou négative. Dans la première expression de $\Pi '$, qui suppose $\alpha$ positive, on prendra donc

$k'=\beta -\gamma v$,$t=\theta -\gamma v$ ;

et les limites des intégrales relatives à la nouvelle variable $\theta$ seront ${\theta =\beta }$ et ${\theta =\infty }$. Dans la seconde expression de $\Pi '$, qui se rapporte au cas de $\alpha$ négative, on devra prendre

$k'=-\beta -\gamma v$,$t=\theta +\gamma v$ ;

et les limites de cette intégrale seront encore ${\theta =\beta }$ et ${\theta =\infty }$. De cette manière, on aura

${\begin{aligned}\Pi '&=1-{\frac {1}{\pi }}\int _{\beta }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\theta ^{2}+2\gamma \theta v-(1+\gamma ^{2})v^{2}}d\theta dv\\&\qquad +{\frac {2n'}{\sqrt {2\pi \mu 'm'n'}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\beta ^{2}+2\gamma \theta v-(1+\gamma ^{2})v^{2}}dv\\&\qquad +{\frac {2(m-n)}{3\pi {\sqrt {2\mu mn}}}}\int _{\beta }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\theta ^{2}+2\gamma \theta v-(1+\gamma ^{2})v^{2}}v^{3}d\theta dv,\\\Pi '&={\frac {1}{\pi }}\int _{\beta }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\theta ^{2}+2\gamma \theta v-(1+\gamma ^{2})v^{2}}d\theta dv\\&+{\frac {2n'}{\sqrt {2\pi \mu 'm'n'}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\beta ^{2}+2\gamma \theta v-(1+\gamma ^{2})v^{2}}dv\\&-{\frac {2(m-n)}{3\pi {\sqrt {2\mu mn}}}}\int _{\beta }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\theta ^{2}+2\gamma \theta v-(1+\gamma ^{2})v^{2}}v^{3}d\theta dv.\end{aligned}}$