Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/259

nous aurons finalement

$\left.{\begin{aligned}s&=1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{v}^{\infty }e^{-t^{2}}-\Gamma e^{-\gamma ^{2}},\\s&={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{v}^{\infty }e^{-t^{2}}-\Gamma e^{-\gamma ^{2}}\;;\end{aligned}}\right\rbrace$

(30)

la première valeur de $s$ ayant lieu quand on a ${\gamma <0}$, et la seconde dans le cas de ${\gamma >0}$.

En faisant ${t=\gamma }$ dans la formule (28), et désignant le résultat par $\sigma$, on aura

$\sigma ={\frac {c^{2}e^{-\gamma ^{2}}}{\sqrt {2\pi (c-\mu )\mu abc}}}$,

(31)

pour la probabilité que dans le nombre $\mu$ de tirages, les nombres $m$ et $n$ de boules des deux couleurs seront égaux entre eux, et à la moitié de $\mu$ ; ce qui n’est possible que quand $\mu$ est un nombre pair.

(92). Après avoir extrait $\mu$ boules de A, supposons que l’on en extraie $\mu '$ autres, puis $\mu ''$ autres, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on ait épuisé le nombre $c$ de boules que cette urne renferme, de sorte qu’on ait

$c=\mu +\mu '+\mu ''+\mu '''+{\text{etc.}}$ ;

supposons, de plus, que chacun de ces nombres $\mu '$, $\mu ''$, etc., soit très grand, ainsi que $\mu$ ; et désignons par $s'$, $s''$, etc., ce que devient $s$, en y mettant successivement $\mu '$, $\mu ''$, etc., au lieu de $\mu$, et faisant usage de la première ou de la seconde formule (30), selon qu’à l’origine des tirages, le nombre $b$ des boules noires sera plus grand ou plus petit que le nombre $a$ des boules blanches, contenus l’un et l’autre dans A ; ce qui rendra la quantité $\gamma$ négative ou positive. D’après le lemme du n^o 90, les chances d’amener plus de boules noires que de blanches, dans ces tirages successifs des nombres de boules $\mu$, $\mu '$, $\mu ''$, etc., seront les quantités $s$, $s'$, $s''$, etc. ; en sorte qu’elles ne varieront qu’à raison de l’inégalité de $\mu$, $\mu '$, $\mu ''$, etc., et seraient toutes égales, si ces nombres étaient égaux. Soit $r$ la moyenne des valeurs de $s$, $s'$, $s''$, etc., c’est-à-dire,

$r={\frac {1}{\alpha }}(s+s'+s''+s'''+{\text{etc.}})$,