Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/269

dans les limites de l’intégration ; il s’ensuit que quand $\mu$ sera un très grand nombre, ce produit sera généralement une très petite quantité, pour toutes les valeurs de $x$ qui ne seront pas très petites, et que $\mathrm {Y}$ s’évanouirait, pour toutes les valeurs finies de $x$, si $\mu$ devenait infini. Il n’y aurait d’exception que si les facteurs de $\mathrm {Y}$ convergeaient indéfiniment vers l’unité ; car on sait que le produit d’un nombre infini de semblables facteurs, peut avoir pour valeur une quantité de grandeur finie. À cause de

$\rho _{1}^{2}=1-4p_{i}q_{i}\sin ^{2}{x}$,

cette circonstance supposerait que l’une des chances des deux événements E et F, ou leur produit $p_{i}q_{i}$, décrût indéfiniment pendant la série des épreuves. En excluant ce cas particulier, on pourra donc, dans le cas où $\mu$ est un très grand nombre, considérer la variable $x$ comme une très petite quantité, et négliger la partie de l’intégrale précédente, qui répond aux autres valeurs de $x$.

En développant alors suivant les puissances de $x^{2}$, on aura, en série très convergente,

$\rho _{i}=1-2p_{i}q_{i}x^{2}+\left({\tfrac {2}{3}}p_{i}q_{i}-2p_{i}^{2}q_{i}^{2}\right)x^{4}-{\text{etc.}}$,

et, par conséquent,

$\log {\rho _{i}}=-2p_{i}q_{i}x^{2}+\left({\tfrac {2}{3}}p_{i}q_{i}-4p_{i}^{2}q_{i}^{2}\right)x^{4}-{\text{etc.}}$ ;

d’où l’on conclut

$\log {\mathrm {Y} }=-\mu k^{2}x^{2}+\mu \left({\tfrac {1}{3}}k^{2}-k'^{2}\right)x^{4}-{\text{etc.}}$,

en faisant, pour abréger,

$\textstyle 2\sum p_{i}q_{i}=\mu k^{2}$,$\textstyle 4\sum p_{i}^{2}q_{i}^{2}=\mu k'^{2}$,etc.,

et étendant la somme $\textstyle \sum$ depuis ${i=1}$ jusqu’à ${i=\mu }$. Si l’on fait aussi

$x={\frac {z}{\sqrt {\mu }}}$,