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on fait

$p-{\frac {m}{\mu }}={\frac {k\theta }{\sqrt {\mu }}}$,$q-{\frac {n}{\mu }}=-{\frac {k\theta }{\sqrt {\mu }}}$,$g={\frac {2k\theta }{\sqrt {\mu }}}$,

la probabilité $\mathrm {U}$ n’aura de valeurs sensibles que pour des valeurs de $\theta$, positives, négatives ou zéro, mais très petites par rapport à $\textstyle {\sqrt {\mu }}$, et il en résultera finalement

$\mathrm {U} ={\frac {1}{k{\sqrt {\pi \mu }}}}e^{-\theta ^{2}}-{\frac {h\theta }{2k^{4}\mu {\sqrt {\pi }}}}\left(3+2\theta ^{2}\right)e^{-\theta ^{2}}$,

(2)

pour la probabilité que les nombres $m$ et $n$ auront pour valeurs

$m=p\mu -\theta k{\sqrt {\mu }}$,$n=q\mu +\theta k{\sqrt {\mu }}$,

c’est-à-dire, des valeurs qui s’écarteront très peu d’être proportionnelles aux chances moyennes $p$ et $q$ et au nombre $\mu$ des épreuves.

(96). Pour que $m$ et $n$ soient des nombres entiers, il faudra que $\theta$ soit un multiple de ${\tfrac {1}{k{\sqrt {\mu }}}}$ ou zéro. En faisant ${\theta =0}$ dans la formule (2), on aura ${\tfrac {1}{k{\sqrt {\pi \mu }}}}$ pour la probabilité que $m$ et $n$ seront précisément entre eux comme $p$ et $q$. En désignant par $t$ une quantité positive, multiple de ${\tfrac {1}{k{\sqrt {\mu }}}}$ ; faisant successivement dans cette formule ${\theta =-t}$ et ${\theta =+t}$ ; et ajoutant les deux résultats, leur somme ${{\tfrac {2}{k{\sqrt {\pi \mu }}}}e^{-t^{2}}}$ exprimera la probabilité que $m$ sera l’un des deux nombres ${p\mu \mp kt{\sqrt {\mu }}}$, et $n$ l’un des deux nombres ${q\mu \pm kt{\sqrt {\mu }}}$. Soit

${\frac {1}{k{\sqrt {\mu }}}}=\delta$ ;

désignons par $u$ un multiple donné de $\delta$ ; faisons successivement, dans la somme précédente, ${t=\delta ,}\,{=2\delta ,}\,{=3\delta ,\ldots }$ jusqu’à ${t=u}$ ; représentons par $\mathrm {R}$ la somme des résultats, augmentée de la valeur de $\mathrm {U}$