Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/275

développe ce produit suivant les puissances de $t^{\omega }$, il est aisé de voir que $\Pi$ sera le coefficient de $t^{m\omega }$ dans ce développement. Cela est évident, dans le cas de ${\mu =1}$. Quand ${\mu =2}$, si l’on représente par ${n'\omega }$ et ${n''\omega }$ deux exposants de $t$ pris, l’un dans la première et l’autre dans la seconde somme $\textstyle \sum$, il est évident que la valeur $m\omega$ de A pourra arriver d’autant de manières différentes que l’équation ${n'+n''=m}$ aura de solutions distinctes, en prenant pour $n'$ et $n''$ des nombres compris depuis $\alpha$ jusqu’à $\beta$ ; la probabilité de chacune de ces manières sera le produit des valeurs de $\mathrm {N} _{1}$ et $\mathrm {N} _{2}$, qui répondent à chaque couple de nombres $n'$ et $n''$ ; par conséquent, la probabilité totale de ${s=m\omega }$ aura pour expression le coefficient de $t^{m\omega }$ dans le produit des deux premières sommes $\textstyle \sum$. Ce raisonnement s’étendra sans difficulté aux cas de ${\mu =3,}\,{=4}$, etc. Lorsque toutes les quantités $\mathrm {N} _{1}$, $\mathrm {N} _{2}$, $\mathrm {N} _{3}$, etc., sont égales, leur produit se change dans la puissance $\mu$ de l’un des polynômes qui répondent aux sommes $\textstyle \sum$, et ce cas a été considéré dans le n^o 17.

Cela étant, par une considération semblable à celle qu’on a employée plus haut, si nous faisons

$t^{\omega }=e^{\theta {\sqrt {-1}}}$,

et si nous désignons par $\mathrm {X}$ ce que deviendra le produit des $\mu$ sommes $\textstyle \sum$, nous aurons

$\Pi ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\mathrm {X} e^{-m\theta {\sqrt {-1}}}d\theta$.

Soient actuellement $i$ et $i'$ deux nombres donnés, et $\mathrm {P}$ la probabilité que la somme $s$ sera comprise entre $i\omega$ et $i'\omega$, ou égale à l’une de ces limites ; la valeur de $\mathrm {P}$ se déduira de celle de $\Pi$ en y faisant successivement ${m=i,}\,{=i+1,},\,{=i+2,\ldots }{=i'}$ ; et la somme des valeurs correspondantes de $e^{-m\theta {\sqrt {-1}}}$ ayant pour expression

${\frac {\sqrt {-1}}{2\sin {{\frac {1}{2}}\theta }}}\left[e^{-\left(i'+{\frac {1}{2}}\right)\theta {\sqrt {-1}}}-e^{-\left(i-{\frac {1}{2}}\right)\theta {\sqrt {-1}}}\right]$,

il en résultera

$\mathrm {P} ={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left[e^{-\left(i'+{\frac {1}{2}}\right)\theta {\sqrt {-1}}}-e^{-\left(i-{\frac {1}{2}}\right)\theta {\sqrt {-1}}}\right]{\frac {\mathrm {X} d\theta }{\sin {{\frac {1}{2}}\theta }}}$.