Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/378

$u^{n-i}(1-u)^{i}={\frac {i^{i}(n-i)^{n-i}}{n^{n}}}e^{-\theta ^{2}}$ ;

c’est-à-dire la même équation qu’on avait tout-à-l’heure entre $u$, $x$, et de laquelle on tirera

$u=\alpha +\theta {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}-{\frac {2\theta ^{2}(n-2i)}{3n^{2}}}+{\text{etc.}}$

Mais $\theta$ devant toujours être une quantité positive (n^o 121), ses valeurs seront ${\theta =\infty }$, ${\theta =0}$, ${\theta =\infty }$, pour ${u=0}$, ${u=\alpha }$, ${u=1}$ : la variable $u$ croissant depuis ${u=0}$ jusqu’à ${u=\alpha }$, la variable $\theta$ décroîtra depuis ${\theta =\infty }$ jusqu’à ${\theta =0}$ ; et $u$ croissant de nouveau depuis ${u=\alpha }$ jusqu’à ${u=1}$, cette même variable $\theta$ croîtra depuis ${\theta =0}$ jusqu’à ${\theta =\infty }$.

Cela posé, nous aurons, d’après les formules (11),

${\begin{aligned}\int _{0}^{\alpha }\mathrm {U} _{i}\varphi udu&={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{\infty }^{0}\left(\int _{\theta }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)\varphi u{\frac {du}{d\theta }}d\theta \\&\qquad +{\frac {(n+i){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi ni(n-i)}}}}\int _{\infty }^{0}e^{-\theta ^{2}}\varphi u{\frac {du}{d\theta }}d\theta ,\\\int _{\alpha }^{1}\mathrm {U} _{i}\varphi udu&=\int _{\alpha }^{1}\varphi udu-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }\left(\int _{\theta }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)\varphi u{\frac {du}{d\theta }}d\theta \\&\qquad +{\frac {(n+i){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi ni(n-i)}}}}\int _{0}^{\infty }e^{-\theta ^{2}}\varphi u{\frac {du}{d\theta }}d\theta .\end{aligned}}$

On obtiendra, en séries convergentes, les valeurs de ces intégrales, simples et doubles, relatives à $\theta$, en substituant sous les signes $\textstyle \int$ la série précédente à la place de $u$, son coefficient différentiel au lieu de ${\tfrac {du}{d\theta }}$, et développant aussi $\varphi u$ en série, ce qui suppose que cette fonction ne varie pas très rapidement de part ou d’autre de la valeur particulière $\alpha$ de $u$. Si l’on néglige les termes de l’ordre de petitesse de ${\tfrac {1}{n}}$, on fera simplement

$u=\alpha +\theta {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}$,${\frac {du}{d\theta }}={\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}$,${\varphi u=\varphi \alpha }$.

Le radical $\textstyle {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}$ sera susceptible du double signe ± ; on prendra le signe supérieur dans les intégrales où la variable $\theta$ est croissante, et le signe inférieur dans celle où elle est décroissante ; en changeant ensuite le signe de ces dernières, et intervertissant l’ordre de leurs limites, nous aurons