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Quelque grande qu’on la suppose, la fortune de B est nécessairement limitée ; si donc on la désigne par un nombre $b$ de francs, A ne pourra jamais recevoir une somme plus grande que $b$ ; ce qui diminue, dans un très grand rapport, son espérance mathématique.

En effet, on aura toujours

$b=2^{\beta }(1+h)$ ;

$\beta$ étant un nombre entier, et $h$ une quantité positive et plus petite que l’unité. Si l’on a ${\beta >m}$, ou seulement ${\beta =m}$, B pourra payer toutes les sommes qui échoiront à A ; mais dans le cas de ${\beta <m}$, B ne pourra plus les payer, lorsque croix arrivera pour la première fois au-delà des $\beta$ premiers coups. L’espérance mathématique de A sera donc $\beta$ pour ces premiers coups ; mais au-delà, c’est-à-dire pour les ${m-\beta }$ coups suivants, elle se réduira à la somme constante $b$ ou ${2^{\beta }(1+h)}$, multipliée par leurs probabilités respectives, depuis ${\tfrac {1}{2^{\beta +1}}}$ jusqu’à ${\tfrac {1}{2^{m}}}$. En désignant donc par $\varepsilon$ la valeur complète de l’espérance mathématique de A, ou ce qu’il doit donner à B pour que le jeu soit égal, on aura

$\varepsilon =\beta +{\tfrac {1}{2}}(1+h)\left(1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+\ldots +{\tfrac {1}{2^{m-\beta -1}}}\right)$,

ou, ce qui est la même chose,

$\varepsilon =\beta +(1+h)\left(1-{\tfrac {1}{2^{m-\beta }}}\right)$ ;

quantité qui n’est plus croissante avec $m$, et qui est, au contraire, à très peu près indépendante de ce nombre, et se réduit sensiblement à

$\varepsilon =\beta +1+h$,

quand il est très grand. Or, la fortune de B ne peut jamais être assez grande pour que $\beta$ cesse d’être un nombre peu considérable ; et, conséquemment, A ne doit exposer au jeu dont il s’agit, qu’une somme peu considérable, comprise entre ${\beta +1}$ et ${\beta +2}$. Si l’on suppose que B soit un banquier qui possède cent millions de francs, on trouvera 26 pour la plus grande puissance de 2 comprise dans $b$, c’est-à-dire pour le