on commence, ça et là, à changer le mode d’exposition des sciences mathématiques et à préférer la méthode analytique. La plus énergique tentative en ce sens est celle de M. Kosack, professeur de mathématique et de physique au collège de Nordhausen, qui, dans le programme des examens du 6 avril 1852, a inséré un projet détaillé pour l’enseignement de la géométrie suivant mes principes.
Pour amender la méthode, en mathématiques, il faudrait exiger, avant tout, qu’on abandonnât ce préjugé qui consiste à croire que la vérité démontrée est supérieure à la connaissance intuitive, ou, en d’autres termes, que la vérité logique, reposant sur le principe de contradiction, doit avoir le pas sur la vérité métaphysique, qui est immédiatement évidente et dans laquelle rentre l’intuition pure de l’espace.
La certitude absolue et indémontrable réside dans le principe de raison ; car ce principe, sous ces différentes formes, constitue le moule commun de toutes nos connaissances. Toute démonstration est un retour à ce principe ; elle consiste à indiquer, pour un cas isolé, le rapport qui existe entre les représentations et que le principe de raison exprime. Ainsi, il est le principe de toute explication, et, par conséquent, n’est susceptible ni n’a besoin d’aucune explication particulière, puisque toute explication le suppose et n’a de sens que par lui. Mais aucune de ses formes n’est supérieure aux autres, il est également certain comme principe de la raison d’être, du devenir, de l’agir ou du connaître. Le rapport de cause à effet est nécessaire, sous l’une comme sous l’autre de ses formes ; c’est même l’origine, comme l’unique signification du concept de nécessité. Il n’y a pas d’autre nécessité que celle de l’effet lorsque la cause est donnée, et il n’y a pas de cause qui n’entraîne la nécessité de son effet. Aussi sûre est la conséquence exprimée dans une conclusion qu’on a déduite du principe de raison contenu dans les prémisses, aussi sûrement le principe d’être dans l’espace entraîne ses conséquences dans l’espace. Dès que j’ai bien saisi, dans une intuition, le rapport du principe à la conséquence, j’ai atteint à une certitude aussi complète que n’importe quelle certitude logique. Or chaque théorème de géométrie exprime ce rapport, au même titre que l’un des douze axiomes ; il est une vérité métaphysique, et, comme tel, aussi immédiatement certain que le principe de contradiction lui-même, qui est une vérité métalogique et le fondement commun de toute démonstration logique. Celui qui nie la nécessité intuitive des rapports d’espace, exprimés par un théorème, peut contester les axiomes aussi bien que la conclusion d’un syllogisme, que dis-je ? le principe de contradiction lui-même : car tout cela, ce sont des rapports également indémontrables, immédiatement évidents et perceptibles a priori. Par conséquent, vouloir déduire la
