Si on construit les deux termes extrêmes sur une même droite, la figure, au lieu d’un quadrilatère, donne un triangle rectangle, triangle dont la propriété essentielle consiste en ce qu’il est la somme (si on peut s’exprimer ainsi) de deux triangles semblables entre eux et à lui-même. Il est évident que les triangles formés en mettant b dans le prolongement de a sont des triangles rectangles, puisque l’angle entre a et b devient ainsi un angle plat, dont la moitié est un angle droit. J’imagine là un procédé de découverte, bien entendu, non de démonstration.
L’invention des coniques se rattache à la recherche (ordonnée par Apollon) de la duplication du cube, laquelle se ramène à celle de deux moyennes proportionnelles. Archytas (pythagoricien) avait trouvé une solution par le tore. Ménechme, élève de Platon, en a trouvé une par les coniques, et il est d’autre part l’inventeur des coniques. Je ne crois pas qu’on puisse voir là une coïncidence ; je pense qu’il a inventé les coniques pour résoudre les équations qui se rapportent à la recherche de deux moyennes proportionnelles. Car le cône est constitué par un cercle dont le diamètre varie indéfiniment, et la parabole (une de ses solutions de la duplication du cube repose sur l’intersection de deux paraboles) fournit la série des moyennes proportionnelles entre une quantité fixe et une autre variable.
Il me semble donc que l’idée de construire des lignes pour représenter des fonctions, considérée généralement comme datant de deux ou trois siècles, est présente dans toute la géométrie grecque depuis le début. On ne voit pas que la découverte des incommensurables ait opéré une rupture dans la continuité du développement.
