dans le cas où les données étaient convenablement choisies — aussi choisissaient-ils les données à partir de la solution. Qu’ont-ils pensé des autres cas ? Nous ne pouvons pas savoir s’ils se sont crus arrêtés par une trop grande complication dans les calculs ou par une impossibilité.
Mais pour les pythagoriciens ou pré-pythagoriciens, la chose est beaucoup plus claire. Puisqu’ils étudiaient les proportions numériques et toutes les espèces de moyennes entre nombres, ils ont dû chercher la moyenne géométrique entre un nombre et son double, comme ils ont fait pour la moyenne harmonique et la moyenne arithmétique. (Peut-être ont-ils donné à ce problème la forme de la duplication du carré ; le problème de Délos le suggère, par analogie.) La moyenne géométrique entre un nombre et son double dut leur sembler difficile à trouver en nombres rationnels. Mais ils nommaient l’arithmétique « science du pair et de l’impair », ce qui suggère qu’ils devaient se demander si un nombre formé d’une manière déterminée est pair ou impair.
Dès lors, on peut supposer qu’ils se sont posé cette question pour la moyenne proportionnelle entre un nombre et son double, lorsque cette moyenne est un nombre entier. Il leur était facile de démontrer que cette moyenne est paire et qu’elle est impaire ; il suffit de savoir que seul le carré d’un nombre pair peut être pair, ce qui est presque immédiat, notamment si on représente un nombre carré avec des points. Donc une telle moyenne (en nombres entiers) n’existe jamais. Il est facile d’en conclure qu’elle n’existe jamais non plus sous forme de fraction.
Aristote dit qu’on démontre l’incommensurabilité de la diagonale par l’absurde : si elle était
