Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal/05

Lazare Carnot

Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal

Mallet-Bachelier, 1860 (p. 137-158).

note relative au n^o 162

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1. Il y a une analogie remarquable entre la théorie des quantités négatives isolées et celle des quantités infinitésimales, en ce que les unes et les autres ne sauraient jamais être employées qu’auxiliairement, et qu’elles, doivent nécessairement disparaître des résultats du calcul, pour que ces résultats deviennent parfaitement exacts et intelligibles : jusqu’alors ce ne sont que des formes algébriques plus ou moins implicites, et qui ne sont susceptibles d’aucune application immédiate.

2. Il paraît beaucoup plus difficile d’expliquer nettement ce qu’est une quantité négative isolée, que de comprendre ce qu’est une quantité infinitésimale ; car celle-ci, comme on l’a vu, est une quantité effective, au lieu que l’autre est un être de raison, puisqu’on ne pourrait l’obtenir que par une opération inexécutable.

3. Avancer qu’une quantité négative isolée est moindre que 0, c’est couvrir la science des mathématiques, qui doit être celle de l’évidence, d’un nuage impénétrable, et s’engager dans un labyrinthe de paradoxes tous plus bizarres les uns que les autres : dire que ce n’est qu’une quantité opposée aux quantités positives, c’est ne rien dire du tout ; parce qu’il faut expliquer ensuite ce que c’est que ces quantités opposées, recourir pour cette explication à de nouvelles idées premières semblables à celles de la matière, du temps et de l’espace, c’est déclarer qu’on regarde la difficulté comme insoluble, et c’est en faire naître de nouvelles, car si l’on me donne pour exemple de quantités opposées un mouvement vers l’orient et un mouvement vers l’occident, ou un mouvement vers le nord et un mouvement vers le sud, je demanderai ce que c’est qu’un mouvement vers le nord-est, vers le nord-ouest, vers le sud-sud-ouest, etc., et de quels signes ces quantités devront être affectées dans le calcul ?

La ressource des idées premières est sans doute commode pour éluder les difficultés, mais elle est peu philosophique lorsqu’elle n’est pas indispensable. La métaphysique des sciences peut ne pas contribuer beaucoup au progrès des méthodes, mais il y a des personnes qui s’en font une étude favorite, et c’est pour elles que j’ai composé cet opuscule. On pourrait également renvoyer la notion de l’infini mathématique aux idées premières, et les calculs fondés sur cette notion n’en seraient pas moins susceptibles de toutes les applications qu’on en fait : cependant, dit d’Alembert, « cette métaphysique, dont on a tant écrit, est encore plus importante et peut-être plus difficile à développer que les règles mêmes de ce calcul. »

Il me semble qu’on peut dire la même chose des quantités négatives isolées, et l’on peut en juger par les discussions dont elles ont été l’objet parmi les plus célèbres géomètres.

4. J’ai développé ailleurs ce qui m’a paru être la véritable théorie de ces sortes de quantités, et cette théorie a reçu un accueil favorable parmi les savants. La seule objection que je sache y avoir été faite, est qu’elle peut paraître moins simple dans la pratique que celle qui était généralement adoptée. Cet inconvénient, je l’avoue, serait considérable s’il existait ; mais comme je crois que c’est tout le contraire, je vais tâcher de résumer ici cette théorie le plus brièvement possible.

principe fondamental

5. Toute valeur négative trouvée pour une inconnue par la résolution d’une équation, exprime, abstraction faite du signe de cette valeur, la différence de deux autres quantités, dont la plus grande a été prise pour la plus petite, et la plus petite pour la plus grande, dans l’expression des conditions du problème.

Dém. Pour mettre un problème en équations, on commence toujours par procéder comme dans la synthèse, c’est-à-dire que toutes les quantités sur lesquelles on établit le raisonnement sont considérées comme absolues. Donc si la solution du problème est possible, et qu’on n’ait point fait de fausses suppositions, on doit aussi trouver pour chaque quantité une valeur absolue. Donc si au contraire on ne trouve qu’une valeur négative ou imaginaire, on peut déjà conclure qu’il se trouve nécessairement quelque incompatibilité entre les conditions du problème et les hypothèses sur lesquelles le calcul est établi.

Maintenant pour connaître en quoi consistent ces fausses suppositions qu’on peut avoir faites, je nomme x l’inconnue pour laquelle on a trouvé une valeur négative, et je suppose que cette valeur négative soit —p, on a donc trouvé $x=-p$, équation dans laquelle p est une quantité absolue : soit cette quantité absolue $p=m-n$, m et n étant aussi des quantités absolues. Nous aurons par conséquent $m>n$ ; mais, puisqu’au contraire dans la mise en équation on a considéré x comme une quantité absolue, on a donc aussi supposé que sa valeur —p était une quantité absolue, c’est-à-dire qu’on a regardé $-(m-n){\text{ ou }}(n-m)$ comme une quantité absolue. On a donc supposé $n>m$, tandis qu’au contraire on a réellement, comme on l’a vu ci-dessus, $m>n$. Donc la fausse supposition qui a été faite consiste en ce que des deux quantités m, n, dont p est la différence, la plus grande m a été prise pour la plus petite et la plus petite pour la plus grande : et puisque cette quantité absolue p n’est autre chose que la valeur —p trouvée pour l’inconnue, en faisant abstraction du signe, il s’ensuit que toute valeur négative, etc. ; ce qu’il fallait démontrer.

6. On ne peut pas dire précisément que l’équation $x=-p$ soit fausse, puisqu’elle exprime exactement les conditions proposées et les hypothèses sur lesquelles le calcul est établi ; mais ce sont ces conditions elles-mêmes ou ces hypothèses qui, étant contradictoires entre elles, empêchent que le résultat du calcul ne puisse avoir lieu sans modifications. Il s’agit donc de trouver quelles sont les modifications propres à rendre ce résultat explicite, sans en altérer l’exactitude, c’est-à-dire propres à le dégager des quantités inintelligibles qu’il contient ou des opérations inexécutables qu’il indique. Or pour cela il y a deux corrections à faire : la première consiste à changer le signe de l’inconnue dans les expressions algébriques qui la contiennent, afin que sa valeur dans l’équation finale devienne positive ; la seconde est de faire aux conditions et hypothèses sur lesquelles le calcul est établi, un changement analogue, afin que les expressions algébriques se trouvent être toujours exactement la traduction de ces conditions et hypothèses : c’est sur quoi il n’y a pas plus de règles à donner que sur la manière de mettre un problème en équations : mais avec un peu d’habitude on aperçoit pour l’ordinaire très facilement quel doit être le résultat de ces modifications, et l’on se borne à faire la correction nécessaire dans la solution indiquée par l’équation finale, sans prendre la peine de recommencer le calcul : c’est ce qu’on appelle prendre les valeurs négatives en sens contraire des valeurs positives ; ou prendre l’inconnue dans un sens contraire à celui qu’on lui avait attribué dans l’expression des conditions du problème. La nouvelle théorie ne change absolument rien à cet égard aux anciens procédés ; elle ne fait qu’en rendre raison et en démontrer l’exactitude.

7. Supposons, par exemple, que, voulant connaître quelle est la valeur d’un gain présumé, on ait représenté ce gain par x, et qu’on ait trouvé pour équation finale

$x=-p$ ;

tout le monde en conclut, sans hésiter, qu’au lieu d’un gain présumé, il y a une perte réelle qui est égale à p. Mais il s’agit de le démontrer. Or, d’après les principes exposés ci-dessus, voici comment je raisonne.

Puisque x est un gain présumé, si je nomme m la fortune du joueur après l’événement de ce gain, et n sa fortune avant l’événement, le problème aura été mis en équation dans l’hypothèse qu’on avait

$x=m-n$,

et par conséquent $m>n$ ; donc, puisqu’on a trouvé

$x=-p$,

on a supposé aussi

$m-n=-p{\text{ ou }}n-m=p$,

donc p étant une quantité absolue, on a supposé $n>m$. On a donc supposé d’une part $m>n$, et de l’autre $n>m$ ; donc on a fait tout ensemble deux hypothèses contradictoires.

Mais puisque n est la fortune du joueur avant l’événement et m après, le résultat du calcul qui donne $n>m$ annonce que le joueur a perdu au lieu de gagner, c’est-à-dire que pour redresser l’hypothèse sur laquelle le calcul était établi, il faut regarder x comme représentant une perte et non un gain, et pour ne pas altérer par là l’exactitude du calcul, il faut en même temps changer le signe, ce qui donnera alors

$-x=-p{\text{ ou }}x=p$.

8. Ce raisonnement peut s’appliquer à tout autre cas, mais il n’est pas nécessaire de le répéter à chaque fois, de même qu’il n’est pas nécessaire de répéter la démonstration d’une proposition quelconque chaque fois qu’on en fait usage, il suffit qu’on puisse la donner au besoin ; de même il suffit d’avoir établi le principe fondamental, pour demeurer convaincu qu’il est plus qu’inutile de recourir à des assertions aussi étranges que celle de dire, par exemple, qu’une perte est un gain négatif ; ce n’est pas parce qu’une perte est un gain négatif qu’il a fallu substituer —x à x et changer en même temps la dénomination de gain en celle de perte ; mais uniquement parce qu’on s’était trompé dans la mise en équation, en appelant gain ce qui était perte. Il a donc fallu rétablir la véritable dénomination, et rectifier en même temps la fausse conséquence qu’on avait tirée de la première supposition.

On peut bien, dans la conversation, dire qu’une perte est un gain négatif, parce que les expressions figurées y sont admises ; mais elles sont absolument inintelligibles en mathématiques. Supposons que des joueurs assis autour d’une table soient convenus que le dixième du profit sera mis dans un tronc pour les pauvres : ne rirait-on pas de celui qui à la fin du jeu viendrait réclamer 100 écus sur le tronc, sous prétexte qu’ayant fait un gain négatif de 1000 écus, il doit retirer du tronc autant qu’il y aurait mis si son gain eût été positif ? Ne lui dirait-on pas : nous comprenons tous que vous avez perdu 1000 écus, et nous en sommes fâchés pour vous, mais il n’en faut pas moins que vos 100 écus restent dans le tronc, parce que votre langage, tout clair qu’il est pour dépeindre votre aventure, n’est pas celui dont on se sert quand il s’agit de complet ? dans le calcul il faut appeler chaque chose par son nom.

9. Maintenant pour généraliser cette doctrine, concevons un système quelconque variable de quantités. Supposons que les rapports ou relations quelconques qui existent entre ces quantités soient exprimées par des formules explicites, c’est-à-dire qui ne renferment que des quantités absolues et des opérations immédiatement exécutables.

Soient m et n deux quelconques de ces quantités, dont l’une au moins soit supposée variable, et que ces deux quantités, par l’effet des changements qu’éprouve le système, deviennent alternativement chacune la plus grande des deux ; supposons enfin que les formules demeurent les mêmes pour toutes les valeurs qu’on attribuera aux deux quantités m et n ; cela posé, je nommer la différence variable de ces deux quantités m, n, c’est-à-dire la plus grande moins la plus petite. Puisque par hypothèse m, n, sont des quantités absolues, et qu’elles deviennent alternativement chacune plus grande que l’autre, il suit que la quantité p sera aussi toujours une quantité absolue, et que l’on aura tantôt $p=m-n$, et tantôt $p=n-m$, suivant qu’on aura $m>n$ ou $n>m$.

Représentons par p’ la quantité p pour le cas où on a $m>n$, et par p’’ pour le cas où l’on a $n>m$ : cela posé, les valeurs de p’ sont toutes appelées directes les unes à l’égard des autres, aussi bien que toutes les valeurs de p’’ entre elles ; mais les valeurs de p’ sont dites inverses à l’égard des valeurs de p’’, et réciproquement.

Ces quantités n’en sont pas moins toutes des quantités absolues, puisqu’elles n’expriment jamais que la plus grande des deux quantités absolues m, n, moins la plus petite ; mais elles ne sauraient avoir lieu simultanément, et elles se rapportent à différents états consécutifs du système.

Maintenant considérons ce système dans un état quelconque, et que dans les formules qui s’y rapportent se trouve la quantité p’. Voyons comment je pourrais en éliminer cette quantité p’, et y faire entrer à sa place la quantité p’’ inverse à l’égard de l’autre.

Je commence par mettre au lieu de p’ la quantité <math>(m - n)</amth> qui lui est égale : ensuite j’observe que les formules s’appliquent par hypothèse à toutes les valeurs qui doivent être attribuées à m et à n, lesquelles peuvent devenir alternativement chacune plus grande que l’autre ; je puis donc supposer que le système change de manière que n devienne plus grande que m, sans que ces formules entre m et n cessent d’avoir lieu. Supposons donc en effet $n>m$ ; $m-n$ devient une quantité inintelligible, je la mets sous cette forme $-(n-m)$, et puisque nous avons alors $(n-m)=p''$, nous aurons $-p'$ à substituer à $-(n-m)$ qui avait elle-même été substituée à $(m-n)$, et celle-ci à p’. Donc le tout se réduit à substituer immédiatement —p’’ au lieu de p ou, ce qui revient au même, il n’y a qu’à mettre partout p, et lorsqu’on voudra passer d’un état du système à l’autre, il faudra, 1^o changer le signe de cette quantité absolue ; 2^o lui attribuer en même temps la signification d’une quantité inverse relativement à celle qu’on lui avait attribuée d’abord : opération semblable à celle que nous avons indiquée ci-dessus pour le gain et la perte. De là nous pouvons conclure ce principe général :

10. Toutes les fois qu’on veut passer d’un état quelconque du système à un autre, et rendre immédiatement applicables à celui-ci les formules qui étaient immédiatement applicables au premier, il faut changer le signe de toutes les quantités qui se trouvent respectivement inverses, de l’un à l’autre de ces états différents du même système.

Et réciproquement :

Si dans les formules qui sont immédiatement applicables à un état quelconque du système, on vient à changer le signe d’une ou de plusieurs des quantités qui y entrent, les formules ainsi modifiées n’appartiendront plus au même état de système, mais à un autre, dont les quantités qui ont été changées de signe se trouvent respectivement inverses, à l’égard de leurs correspondantes dans le premier état du système.

11. Si l’on ne changeait pas le signe des quantités qui, dans le nouvel état du système, se trouvent inverses à l’égard de leurs correspondantes dans le premier, il est évident qu’en tirant leurs valeurs par la résolution des équations, ces valeurs seraient négatives, parce qu’elles porteraient partout le signe contraire à celui qu’elles doivent avoir ; c’est ce qui fait que l’on exprime ordinairement cet état de choses, en disant que ces quantités deviennent négatives : mais cette expression est très-impropre, et capable d’induire en erreur, car ce ne sont point ces quantités elles-mêmes qui deviennent négatives, mais ce sont seulement les valeurs que leur assignent les équations. Or ces valeurs sont fausses, les véritables valeurs sont celles qui n’ont lieu que quand le changement de signe est fait ; jusque-là l’opération n’est pas complète, les quantités appartiennent au nouvel état du système quant à leurs valeurs absolues, et à l’ancien quant aux signes dont elles sont affectées.

Il ne faut donc point perdre de vue que les quantités dites inverses ne le sont jamais que respectivement d’un état à l’autre du même système ; que ce ne sont jamais que des quantités absolues, qui se trouvent tantôt positives, tantôt négatives, suivant les transformations que l’on fait subir aux équations où elles se trouvent ; et qu’enfin aucune quantité n’est négative par sa nature, mais seulement par le signe qui la précède transitoirement dans les expressions algébriques. Le signe plus marque l’addition, le signe moins marque la soustraction, rien au delà ; tout autre emploi de ces signes n’est que l’effet d’une transformation algébrique, qui ne s’admet dans le calcul que par induction.

12. C’est l’habitude du calcul qui apprend à discerner tout de suite les quantités qui deviennent inverses, en passant d’un état à l’autre du système, et qui par conséquent doivent changer de signe lorsqu’on veut rendre immédiatement applicable à ce second état du système les formules qui ne se rapportaient explicitement qu’au premier. Tout le monde, par exemple, aperçoit que quand on veut appliquer les formules trouvées pour le cosinus d’un arc moindre que le quart de la circonférence, au cosinus d’un arc plus grand que le quart et moindre que les trois quarts, il faut en changer le signe : mais ce n’est pas, comme on le suppose ordinairement, que ce cosinus devienne négatif ; il peut être tantôt négatif et tantôt positif, suivant qu’on le fera passer d’un membre de l’équation à l’autre, où il pourra se trouver ; mais par lui-même, c’est toujours une quantité absolue, et c’est pour cette raison même qu’il faut changer le signe qu’il avait dans les formules du système primitif, c’est-à-dire du premier quart de circonférence sur lequel les raisonnements ont été établis. Autrement ces formules, qui étaient exactes pour ce premier quadrans, ne le seraient pas pour le second, comme cela se prouve évidemment en cherchant directement parla synthèse les formules relatives à ce second quadrans.

En supposant d’une part, comme on le fait ordinairement, que les formules immédiatement applicables aux angles aigus le sont également aux angles obtus, et de l’autre, que le cosinus des angles obtus est négatif, on fait tout à la fois deux fausses suppositions ; mais ces fausses suppositions se corrigent l’une par l’autre : car si l’on nomme a l’angle aigu, on aura $\cos a=1-\operatorname {sinverse} a$ ; ainsi, en supposant que la même formule s’applique à l’angle obtus, on suppose également que le cosinus de celui-ci est $1-\operatorname {sinverse} a$, tandis qu’au contraire il est réellement $\operatorname {sinverse} a-1$. On met donc dans le calcul $1-\operatorname {sinverse} a$ au lieu de $\operatorname {sinverse} a-l$, ou $1-\operatorname {sinverse} a$ au lieu de $-(1-\operatorname {sinverse} a)$, ou $\cos a$ au lieu de $-\cos a$.

Mais, comme, en vertu de la seconde supposition, le cosinus d’un angle obtus est regardé comme négatif, c’est-à-dire comme devant changer de signe dans le résultat du calcul, on remet dans ce résultat $-\cos a$ au lieu de $\cos a$. De sorte que par les deux opérations successives on met d’abord $\cos a$ au lieu de $-\cos a$, et ensuite $-\cos a$ au lieu de $\cos a$, ce qui revient au même que si l’on n’avait rien changé. Mais on y a trouvé ainsi l’avantage de n’employer dans le cours du calcul qu’une même formule pour l’angle aigu et pour l’angle obtus.

13. De même pour les courbes, en regardant comme immédiatement applicable aux quatre régions l’équation qui n’est immédiatement applicable qu’à une seule, on fait dans le cours du calcul une fausse supposition, mais on corrige cette fausse supposition dans le résultat de ce calcul, en y regardant comme négatives, c’est-à-dire comme portant le signe contraire à celui qu’elles devraient avoir, les coordonnées qui se trouvent, par rapport à leur axe, du côté opposé à celui pour lequel l’équation se trouvait en effet immédiatement applicable.

Tout cela se prouve facilement par la transformation des coordonnées, mais il est inutile de recommencer à chaque fois les raisonnements qui établissent cette espèce de compensation produite par des hypothèses qui se corrigent l’une par l’autre. Il faut considérer ces hypothèses comme des moyens ingénieux de donner aux questions plus de généralité en réunissant sous une même formule tous les problèmes du même genre, ou qui, sans être absolument identiques, ont cependant assez de connexion entre eux pour qu’on puisse passer de l’une à l’autre par de simples modifications dans les signes.

14. On connaît, par exemple, la formule

$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\;;\ldots$

(A)

mais cette formule ne se rapporte immédiatement qu’au cas où les trois arcs $a,b,a+b$, sont tous moindres que le quart de la circonférence ; car si on voulait l’appliquer immédiatement et sans modification aux arcs plus grands, on se tromperait, ainsi que l’on peut s’en convaincre facilement, en cherchant directement par la synthèse les formules propres aux différents cas. Or voici ce que l’on fait pour étendre cette formule à tous les cas. On la considère comme générale en effet pendant tout le cours du calcul, ce qui est une fausse supposition ; mais pour corriger dans le résultat l’effet de cette fausse supposition, on y regarde comme négatifs les cosinus des arcs plus grands que le quart de circonférence, et moins grands que les trois quarts, c’est-à-dire comme devant changer de signe pour le second et le troisième quadrans, et quant aux sinus, on les regarde comme négatifs, c’est-à-dire comme devant changer de signe pour le troisième et le quatrième quadrans ; ce qui ramène dans chaque cas la formule à ce qu’elle doit être, c’est-à-dire à ce qu’elle serait réellement si on l’avait cherchée directement par la synthèse. Ainsi, par exemple, si, a et b restant chacun moindre que le quart de circonférence, $a+b$ est cependant plus grand, il faudra donner le signe négatif à

$\cos(a+b)$,

et la formule deviendra

$-\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$,

ou

$\cos(a+b)=\sin a\sin b-\cos a\cos b\;;\ldots$

(B)

formule qui est en effet celle que l’on trouve directement dans ce cas par la synthèse.

Représentons en général par siv et cov le sinus verse et le cosinus verse d’un arc quelconque ; on aura pour l’équation du cercle

$(1+\operatorname {siv} )^{2}+(1-\operatorname {cov} )^{2}=1$ ;

et cette équation s’applique immédiatement à tous les points de la circonférence : nous pouvons donc nous en servir pour donner à la formule (A) trouvée ci-dessus, toute la généralité dont elle est susceptible. Car si on élimine les sinus et les cosinus pour y faire entrer les sinus verse et cosinus verse, on aura

${\begin{aligned}1-\operatorname {siv} (a+b)&=(1-\operatorname {siv} a)(1-\operatorname {siv} b)\\&-(1-\operatorname {cov} a)(1-\operatorname {cov} b)\,,\ldots \end{aligned}}$

(C)

formule qui est immédiatement applicable aux quatre régions de la circonférence, sans aucune modification.

Pour le premier quadrans, comme on a

$\operatorname {siv} (a+b)<1,\operatorname {siv} a<1,\operatorname {siv} b<1,\operatorname {cov} a<1,\operatorname {cov} b<1$,

la formule entre les sinus et cosinus redeviendra la formule (A) elle-même. Pour le second quadrans, en supposant $(a+b)$ plus grand que le quart de circonférence, mais a et b chacun moindre, on aura

$\operatorname {siv} (a+b)>1,\operatorname {siv} a<1,\operatorname {siv} b<1,{\text{etc.}}$ ;

donc la formule deviendra

${\begin{aligned}-[(\operatorname {siv} (a+b)-1]&=(1-\operatorname {siv} a)(1-\operatorname {siv} b)\\&-(1-\operatorname {cov} a)(1-\operatorname {cov} b),\end{aligned}}$

ou, en rétablissant les sinus et cosinus, et réduisant,

$\cos(a+b)=\sin a\sin b-\cos a\cos b$ ;

équation conforme à la formule (B).

On doit donc regarder les formules (A) et (B) comme relatives à des cas particuliers et comme dérivées d’une même formule générale qui les comprend toutes ; c’est la formule (C), et lorsque dans, l’usage habituel on emploie l’une de ces formules particulières, telles que (A) comme générale, on ne doit point oublier qu’elle ne fait réellement que représenter cette formule générale, jusqu’à ce que le moment soit venu d’y faire les modifications convenables, mais que ce n’est pas la formule générale elle-même, puisque, si c’était elle, il n’y aurait besoin d’aucune modification.

15. Pour juger facilement quelles doivent être les modifications qui doivent avoir lieu dans chaque cas particulier, lorsqu’on n’emploie pas la formule générale, nous formerons le tableau suivant, qui contient les valeurs absolues de toutes les quantités angulaires relatives aux quatre régions du cercle, toutes exprimées en valeurs des sinus et cosinus verses.

premier quadrans	deuxième quadrans	troisième quadrans	quatrième quadrans
$\sin a=1-\operatorname {cov} a\cdots$	$\sin a=1-\operatorname {cov} a\cdots$	$\sin a=\operatorname {cov} a-1\cdots$	$\sin a=\operatorname {cov} a-1$
$\cos a=1-\operatorname {siv} a\cdots$	$\cos a=\operatorname {siv} a-1\cdots$	$\cos a=\operatorname {siv} a-1\cdots$	$\cos a=1-\operatorname {siv} a$
$\tan a={\frac {1-\operatorname {cov} a}{1-\operatorname {siv} a}}\cdots$	$\tan a={\frac {1-\operatorname {cov} a}{\operatorname {siv} a-1}}\cdots$	$\tan a={\frac {\operatorname {cov} a-1}{\operatorname {siv} a-1}}\cdots$	$\tan a={\frac {\operatorname {cov} a-1}{1-\operatorname {siv} a}}$
$\cot a={\frac {1-\operatorname {siv} a}{1-\operatorname {cov} a}}\cdots$	$\cot a={\frac {\operatorname {siv} a-1}{1-\operatorname {cov} a}}\cdots$	$\cot a={\frac {\operatorname {siv} a-1}{\operatorname {cov} a-1}}\cdots$	$\cot a={\frac {1-\operatorname {siv} a}{\operatorname {cov} a-1}}$
$\sec a={\frac {1}{1-\operatorname {siv} a}}\cdots$	$\sec a={\frac {1}{\operatorname {siv} a-1}}\cdots$	$\sec a={\frac {1}{\operatorname {siv} a-1}}\cdots$	$\sec a={\frac {1}{1-\operatorname {siv} a}}$
$\csc a={\frac {1}{1-\operatorname {cov} a}}\cdots$	$\csc a={\frac {1}{1-\operatorname {cov} a}}\cdots$	$\csc a={\frac {1}{\operatorname {cov} a-1}}\cdots$	$\csc a={\frac {1}{\operatorname {cov} a-1}}$

16. Ce tableau, dont la formation est évidente, indique tout de suite la modification qui doit être faite à chacune des formules qui se trouvent immédiatement applicables à un état quelconque du système pour les rendre immédiatement applicables à un autre : par exemple, en prenant pour terme de comparaison les formules relatives au premier quadrans, comme on le fait ordinairement. Nous y trouvons

$\cos a=1-\operatorname {siv} a$,

et pour le second quadrans nous trouvons

$\cos a=\operatorname {siv} a-1$ ;

donc dans le second quadrans le cosinus est inverse à l’égard de ce qu’il est dans le premier quadrans. Donc, suivant le principe général, pour rendre immédiatement applicables au second quadrans les formules qui se trouvent immédiatement applicables au premier, il faut y changer le signe du cosinus.

Comme dans ce second quadrans on a

$\cos a=\operatorname {siv} a-1{\text{ ou }}\cos a=-(1-\operatorname {siv} a)$ ;

tandis que dans le premier on a au contraire

$\cos a=1-\operatorname {siv} a$,

on est dans l’usage d’exprimer cette corrélation des deux cosinus, en disant que le cosinus devient négatif dans le second quadrans ; mais c’est une expression impropre, comme nous l’avons déjà remarqué : le cosinus n’est négatif, ni dans le premier, ni dans, le second quadrans, ni dans aucun autre ; pour qu’il fût négatif dans le second quadrans, par exemple, il faudrait que sa valeur, qui est alors, comme on vient de le voir,

$-(1-\operatorname {siv} a)$,

fut réellement négative comme elle en a l’apparence ; mais comme dans ce second quadrans on a

$\operatorname {siv} a>1$,

il suit que

$(1-\operatorname {siv} a)$

est elle-même une quantité négative, et que par conséquent

$-(1-\operatorname {siv} a)$

redevient une quantité positive.

17. Pour donner encore un exemple de l’usage de ce tableau, je chercherai comment on doit modifier les formules du premier quadrans pour les rendre immédiatement applicables au troisième, en supposant que la sécante s’y trouve.

Je vois que dans le premier quadrans on a

$\sec a={\frac {1}{1-\operatorname {siv} a}}$,

et dans le troisième,

$\sec a={\frac {1}{\operatorname {siv} a-1}}$.

Or, pour ramener cette dernière équation à la même forme que la première, il faudrait changer le signe ; j’en conclus que la sécante du troisième quadrans est inverse à l’égard de celle du premier, et qu’il faut par conséquent changer en effet le signe dans les formules. Pour nous en convaincre, multiplions dans l’équation

$\sec a={\frac {1}{1-\operatorname {siv} a}}$,

du premier quadrans, le numérateur et le dénominateur de la fraction, par le dénominateur

$1-\operatorname {siv} a$,

et nous aurons

$\sec a={\frac {1}{(1-\operatorname {siv} a)^{2}}}-{\frac {\operatorname {siv} a}{(1-\operatorname {siv} a)^{2}}}$.

Faisons la même transformation sur la formule

$\sec a={\frac {1}{\operatorname {siv} a-1}}$.

du troisième quadrans, et nous aurons

$\sec a={\frac {\operatorname {siv} a}{(\operatorname {siv} a-1)^{2}}}-{\frac {1}{(\operatorname {siv} a-1)^{2}}}$ ;

mais $(\operatorname {siv} a-1)^{2}$ est la même chose que $(1-\operatorname {siv} a)^{2}$, donc les valeurs de $\sec a$ dans le premier et le troisième quadranq sont les différences des mêmes variables

${\frac {1}{(1-\operatorname {siv} a)^{2}}}{\text{ et }}{\frac {\operatorname {siv} a}{(1-\operatorname {siv} a)^{2}}}$,

prises dans des sens inverses ; d’où il suit que les sécantes du premier et du troisième quadrans, quoiqu’elles se confondent, tant pour leur grandeur que pour leur direction, n’en sont pas moins des quantités opposées, dans le sens que les analystes attachent à ce mot : ce qui prouve que ce mot ne présente pas toujours à l’esprit une idée bien claire, et que ces quantités opposées ne sont autre chose que les quantités respectivement inverses que nous avons définies d’une manière claire et précise (9).

18. Il faut pourtant convenir que, sauf quelques exceptions assez rares, il est facile de reconnaître les quantités qui deviennent inverses, ou, comme on le dit improprement, négatives, chaque fois qu’on passe d’un état à l’autre du système et par conséquent celles qui doivent changer de signe. Mais ordinairement on n’exécute point ces changements de signe à chaque mutation de l’état du système ; on les laisse subsister pendant tout le cours du calcul, tels qu’ils seraient si l’on n’était pas sorti du système primitif, c’est-à-dire de l’état sur lequel les raisonnements ont été établis pour la mise en équation, et que l’on prend pour le terme de comparaison auquel on rapporte tous les autres : on se réserve donc de faire, dans le résultat même, les changements qui se trouvent nécessaires. Cette manière de procéder est ce qui distingue essentiellement l’analyse de la synthèse. Celle-ci n’admet jamais dans le calcul que des formes explicites, c’est-à-dire des quantités absolues et des opérations immédiatement exécutables. D’où il suit qu’à mesure que l’état du système change, il faut qu’elle modifie ses formules d’une manière analogue, afin qu’elles ne cessent jamais d’être le tableau fidèle de ce système qu’elle suit dans toutes ses mutations. L’analyse, au contraire, part d’un état déterminé du système ; cet état déterminé est le système primitif qu’elle prend pour terme de comparaison, et sur lequel elle établit son raisonnement dans l’expression des conditions du problème. Dans ce raisonnement pour la mise en équation, elle procède absolument comme la synthèse, c’est-à-dire en considérant toutes les quantités comme absolues, et n’employant les signes plus et moins que pour indiquer des additions et des soustractions réelles. Mais ensuite, au lieu de modifier comme la synthèse ses formules primitives à mesure qu’elle passe d’un état à l’autre du système, elle regarde ces formules primitives comme appartenant sans distinction à tous les états successifs du système. Par ce moyen elle se dispense d’examiner séparément chacun des cas particuliers, laissant au calcul lui-même le soin de redresser l’effet des fausses hypothèses, et renvoyant à la fin du calcul les modifications qui pourront se trouver encore nécessaires alors. La synthèse ne s’occupe donc que des quantités absolues et des opérations immédiatement exécutables qui peuvent satisfaire aux équations proposées ; tandis que l’analyse considère toutes les formes algébriques qui peuvent satisfaire aux équations trouvées. Mais elle fait disparaître ensuite les formes négatives et imaginaires, en les soumettant aux transformations ordinaires de l’algèbre, comme si c’étaient de véritables quantités, et ramène ainsi ses équations aux formes explicites désirées, et sans lesquelles le calcul ne serait point achevé, puisqu’il serait susceptible de nouvelles simplifications.

Aucune quantité ne peut devenir, soit négative, soit imaginaire, sans cesser d’être une véritable quantité, parce qu’il n’y a évidemment de véritables quantités que les quantités absolues. Mais on dit improprement que telle quantité devient négative ou imaginaire, pour dire qu’il faut en effet, dans le cours du calcul ou dans son résultat, substituer à cette véritable quantité une fonction négative ou imaginaire, afin de corriger par là les formules qu’on avait faussement supposées être immédiatement applicables au nouvel état du système. Ce n’est point cette quantité elle-même qui est négative ou imaginaire, c’est la forme purement algébrique qu’on est obligé de lui substituer pour maintenir l’exactitude des formules.

Ainsi en nommant a un angle aigu et $\pi$ l’angle droit, ce n’est pas $\cos(2\pi -a)$ qui est négatif, il est tout aussi positif que $\cos a$ ; l’un et l’autre sont des quantités absolues parfaitement égales entre elles ; mais ce qui est négatif, c’est la fonction algébrique $-\cos(2\pi -a)$ qu’il faut effectivement substituer dans le calcul ou dans son résultat pour corriger les formules qui n’ont été établies que pour les angles aigus, lorsqu’on veut par une fausse supposition les étendre aux angles obtus.

De même, ce n’est point $\sec(2\pi +a)$ qui peut jamais être négative, puisqu’elle est parfaitement identique avec $\sec a$ ; mais ce qui est négatif, c’est $-\sec(2\pi +a)$ qu’il faut absolument substituer à $\sec(2\pi +a)$, pour rectifier dans le résultat du calcul la première fausse supposition que l’on avait faite, en regardant les formules qui ne sont immédiatement applicables qu’au premier quadrans, comme indistinctement applicables à tous les points de la circonférence. Et l’on ne peut pas dire que la quantité substituée à l’autre lui soit égale, car ce serait dire que $-\sec(2\pi +a)$ est égale à $\sec(2\pi +a)$ ou que $-1$ est égal à $1$, ce qui serait par trop absurde.

De même encore, en nommant $y$ l’ordonnée d’une courbe, ce n’est point cette quantité $y$ qui devient négative lorsqu’on passe d’un des côtés de l’axe des abscisses à l’autre : $y$ reste toujours une quantité absolue ; mais ce qui est négatif, c’est l’expression algébrique $-y$ qui doit en effet être substituée à cette quantité absolue $y$ lorsqu’on passe d’un côté à l’autre de l’axe des abscisses, pour corriger la fausse supposition que l’on avait faite en regardant mal à propos l’équation de la courbe comme immédiatement applicable aux quatre régions indistinctement, tandis qu’elle ne l’est réellement qu’à la première.

Il faut donc, lorsqu’on dit que telles ou telles quantités deviennent négatives ou imaginaires, considérer cette locution comme une manière abrégée de dire que ces quantités devront être remplacées dans le résultat du calcul par des expressions algébriques en effet négatives ou imaginaires, afin de corriger la fausse supposition que l’on a faite dans la mise en équation, en regardant ces équations comme immédiatement applicables à tous les cas. Ce n’est donc là qu’un langage fictif, mais d’ailleurs très-utile, puisqu’il donne le moyen d’embrasser par une même formule tous les cas particuliers d’un problème, en se réservant d’y faire à la fin les modifications qui pourront se trouver encore nécessaires, à l’effet d’éliminer les contradictions que n’auraient pas entièrement fait disparaître les transformations opérées dans le cours du calcul.

Il semble qu’on pourrait éviter tout à la fois cette expression impropre, imaginée probablement pour abréger, et les circonlocutions qu’indique le développement d’une théorie exacte, en appelant valeur de corrélation l’expression quelconque qui doit remplacer la valeur absolue d’une quantité, afin de corriger les formules où elle entre, lorsqu’on veut les rendre immédiatement applicables à un nouveau cas non compris dans ces formules primitives : ainsi en nommant $\pi$ l’angle droit, l’expression $-\cos(2\pi -a)$ serait simplement, non, comme il est absurde de le dire, la valeur de ce cosinus du supplément de a, ou la valeur de $\cos a$, lorsque a est un angle obtus, mais sa valeur de corrélation, c’est-à-dire celle qu’il faut mettre en effet pour $\cos a$, dans les formules relatives au premier quadrans, lorsqu’on veut les rendre immédiatement applicables au second, et de même —y ne serait pas la vraie valeur de y correspondante à la partie gauche de l’axe des abscisses, mais seulement sa valeur de corrélation, c’est-à-dire celle qu’il faut en effet lui substituer, pour que l’équation qui n’est immédiatement applicable qu’à la première région de la courbe, le devienne à la seconde et à la troisième. Alors on pourrait dire sans crainte d’induire en erreur, la valeur de corrélation de telle ou telle quantité devient négative, devient imaginaire.

Les valeurs de corrélation des quantités qui appartiennent à un état quelconque du système, ne sont donc autre chose que les fonctions algébriques qui doivent être substituées aux quantités absolues correspondantes du système primitif, dans les formules qui s’y rapportent, pour que ces formules deviennent immédiatement applicables à ce nouvel état du même système.

Ces fonctions algébriques peuvent être des expressions positives, négatives ou imaginaires, suivant la manière d’être du nouvel état du système à l’égard du premier ou système primitif, c’est-à-dire de celui sur lequel les raisonnements ont été établis : ce sont les valeurs qui satisfont aux équations primitives, lorsqu’on veut les appliquer immédiatement au nouvel état du système, ou, ce qui revient au même, ce sont les valeurs que l’on tire de ces équations primitives lorsqu’on les applique immédiatement à ce nouvel état. Comme ces deux états sont différents, il peut arriver que ces valeurs soient négatives ou même imaginaires, mais ce ne sont point là les vraies valeurs, ce ne sont que les valeurs de corrélation ; les vraies valeurs sont les quantités absolues qu’elles représentent ; et d’après la théorie que nous avons développée, ces véritables valeurs sont inverses à l’égard de celles qui leur correspondent dans le système primitif, lorsque leurs valeurs de corrélation sont des expressions négatives ; c’est ce que nous pouvons exprimer en disant que quand la valeur de corrélation d’une quantité devient négative, sa valeur absolue devient inverse, et c’est aussi ce qu’il faut entendre par le principe ordinaire que les valeurs négatives doivent être prises en sens contraire des valeurs positives. Ces valeurs négatives ne sont autre chose que des valeurs de corrélation, et les valeurs qu’on doit prendre en sens contraire des valeurs positives, sont les quantités absolues qui répondent à ces valeurs de corrélation, et qui en effet sont alors inverses à l’égard de ce qu’elles étaient dans le système primitif. On peut donc ne rien changer même à l’énoncé de la proposition reçue, et nous n’avons prétendu ici que lui assigner le sens précis qu’elle doit avoir, et en donner la démonstration par les seuls principes mathématiques.

Lors donc qu’on dit, suivant l’usage, que telle ou telle quantité devient négative, cela doit s’entendre de sa valeur de corrélation relativement à tel ou tel autre état du système, et lorsqu’on dit qu’alors il faut prendre cette quantité dans le sens opposé à celui qu’on lui avait attribué dans l’expression des conditions du problème, cela ne doit, au contraire, s’entendre que de la valeur absolue, qui en effet doit être prise sous une autre acception que celle qu’on lui avait donnée, tellement que si dans la mise en équation on lui avait donné l’acception d’une quantité $(m-n)$, dans laquelle on aurait supposé $m>n$, il faudra au résultat du calcul la prendre dans l’acception de la quantité inverse $(n-m)$, dans laquelle on supposera $(n>m)$.

Une valeur de corrélation négative n’est, comme l’on voit, autre chose que la valeur absolue prise collectivement avec le signe moins, et par conséquent une forme algébrique complexe, indiquant tout à la fois une quantité et une opération à faire sur cette quantité, opération même qui serait inexécutable si cette expression devait rester isolée. Mais toutes ces formes purement hiéroglyphiques disparaissent par les transformations ; et les formules primitives qui n’étaient d’abord immédiatement applicables qu’à l’état du système sur lequel les raisonnements avaient été établis, deviennent par ces mêmes transformations immédiatement applicables à tous les autres états du même système successivement.

19. Il me semble qu’après ces développements, toutes les difficultés doivent être levées. Rien absolument n’est changé dans la marche usitée jusqu’à ce jour ; on prouve seulement qu’on a droit de la suivre, et qu’elle est entièrement fondée sur des notions purement mathématiques. On met à l’ordinaire chaque problème en équation, en regardant toutes les quantités sur lesquelles on établit le raisonnement, comme des quantités absolues. Ces équations primitives formées, on les regarde comme immédiatement applicables à tous les états dans lesquels le système peut se trouver successivement, en se réservant de faire dans le résultat même du calcul les modifications nécessaires pour chaque cas particulier. Lorsqu’on est enfin parvenu à ce résultat, et qu’il indique des opérations inexécutables, on en conclut que l’on est sorti de l’état primitif sur lequel les raisonnements ont dû être faits : on s’occupe donc alors de rechercher quel est le nouvel état du système auquel doivent se rapporter les équations trouvées, en faisant aux hypothèses sur lesquelles le calcul a été établi, les modifications qu’exige le passage du premier état du système au second ; opération pour laquelle il n’y a que l’habitude du calcul qui puisse servir de guide, et que l’on indique vaguement, en disant que les valeurs négatives doivent être prises en sens contraire des valeurs positives. Telle est la marche qu’on a toujours suivie depuis Descartes, et telle est aussi la conséquence des principes que nous nous sommes efforcés d’établir, en écartant ou rectifiant les fausses notions que semblent indiquer les tournures de phrases employées dans l’usage ordinaire de l’analyse.

20. On peut voir par tout ce qui précède que l’analyse ne diffère point de la synthèse, comme on le suppose ordinairement, en ce que celle-ci n’opère que sur des quantités connues, tandis que l’analyse opérerait sur les quantités inconnues comme si elles étaient connues, mais bien en ce que cette dernière opère réellement sur les quantités négatives comme si elles étaient positives, ce que ne fait jamais la synthèse, quoiqu’elle opère aussi bien que l’autre sur les quantités inconnues. C’est précisément cette différence qui donne à l’analyse un si grand avantage sur la synthèse, parce qu’elle englobe sous une même formule générale tous les cas pour lesquels il faut à l’autre autant d’examens et de formules particulières, celle-ci n’employant jamais que les véritables quantités qu’elle veut comparer, et ne les comparant jamais que directement ou par l’intermédiaire d’autres quantités effectives comme elles. L’analyse, au contraire, prend souvent pour termes de comparaison entre les véritables quantités des êtres imaginaires, de pures formes algébriques ; mais ces formes algébriques portent toujours avec elles l’indice qui sert à les éliminer au moyen de diverses transformations qui tendent sans cesse à apurer le calcul, en le ramenant aux formes explicites, sans lesquelles il resterait inutile, comme un calcul non achevé.

On ne peut s’empêcher de reconnaître, comme nous l’avons dit au commencement de cette Note, une grande analogie entre ces procédés et ceux de l’analyse infinitésimale. Celle-ci parvient à son but par des erreurs qui se compensent, l’autre par des hypothèses contradictoires qui se corrigent l’une par l’autre. Dans la première, les quantités infinitésimales ne sont que des quantités auxiliaires qu’il faut nécessairement éliminer pour obtenir les résultats cherchés ; dans la seconde, les quantités négatives isolées et les imaginaires ne s’emploient de même qu’auxiliairement et comme des instruments qui deviennent absolument étrangers à l’édifice, une fois qu’il est construit.

FIN.