Théorie des fonctions analytiques/Partie I/Chapitre 10

Joseph-Louis Lagrange

Théorie des fonctions analytiques

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome IX, p. 118-126).

CHAPITRE X.

De l’emploi des fonctions dérivées dans l’analyse et de la détermination des constantes arbitraires. Application à la sommation des suites et à la résolution des équations du troisième degré.

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64. Par les principes que nous venons d’établir à l’égard des constantes arbitraires, on voit que ces constantes forment la liaison entre les équations primitives et les équations dérivées ; celles-ci sont par elles-mêmes plus générales que les équations d’où elles dérivent, à raison des constantes qui ont disparu ou qui peuvent avoir disparu ; elles équivalent proprement à toutes les équations primitives qui ne différeraient entre elles que par les valeurs de ces constantes.

On peut donc toujours passer d’une équation regardée comme primitive à une de ses dérivées d’un ordre quelconque, et réciproquement revenir de celle-ci à celle-là, pourvu que cette dernière opération introduise toujours des constantes arbitraires et qu’on ait soin de déterminer ces constantes d’une manière conforme à l’équation primitive, comme nous en avons déjà donné des exemples (n^os 49 et suivants). Avec cette attention, on pourra employer dans l’Analyse les opérations relatives aux fonctions, comme on y emploie les opérations ordinaires d’Algèbre.

Ainsi, ayant une équation en $x$ et $y,$ on pourra immédiatement en déduire des équations dérivées d’un ordre quelconque ; mais, pour revenir de celles-ci à une équation en $x$ et $y,$ il faudra tenir compte des constantes arbitraires et les déterminer de manière que les valeurs de $y$ et de ses dérivées $y',y'',\ldots$ soient les mêmes pour une valeur donnée de $x,$ comme $x=0,$ que celles qui résultent de l’équation donnée.

Si l’équation proposée n’était que du premier ordre en $x,y,y',$ alors, cette équation ne pouvant fournir que les valeurs de $y',y'',\ldots$ en $x$ et $y,$ ces valeurs, pour $x=0,$ contiendraient la valeur indéterminée de $y\,;$ par conséquent, les constantes arbitraires dépendraient alors de cette valeur, qui serait elle-même une constante arbitraire_1, de sorte que, dans ce cas, toutes les constantes arbitraires se réduiraient à une seule. Elles se réduiraient à deux, par la même raison, si l’équation proposée était du second ordre en $x,y,y'$ et $y'',$ et ainsi de suite.

65. Pour faire mieux sentir l’esprit et l’usage de ces opérations, nous allons les appliquer encore à quelques exemples qui serviront en même temps d’exercice de calcul.

Soit proposée la série

$1+{\frac {m}{n}}x+{\frac {m(m+1)}{n(n+1)}}x^{2}+{\frac {m(m+1)(m+2)}{n(n+1)(n+2)}}x^{3}+\ldots ,$

dont on demande la somme.

Supposons-la égale à $y,$ en sorte qu’on ait une équation en $x$ et $y\,;$ je multiplie cette équation par $x^{n-1},$ ce qui donne

$yx^{n-1}=x^{n-1}+{\frac {m}{n}}x^{n}+{\frac {m(m+1)}{n(n+1)}}x^{n+1}+\ldots .$

Je prends les fonctions primes de tous les termes ; j’ai

$y'x^{n-1}+(n-1)yx^{n-2}$

$=(n-1)x^{n-2}+mx^{n-1}+{\frac {m(m+1)}{n}}x^{n}+{\frac {m(m+1)(m+2)}{n(n+1)}}x^{n+1}+\ldots ,$

où l’on voit qu’il a disparu un facteur du dénominateur de chaque terme.

Je multiplie maintenant l’équation précédente par $x^{m-n}\,;$ j’ai celle-ci

$y'x^{m-1}+(n-1)yx^{m-2}$

$=(n-1)x^{m-2}+mx^{m-1}+{\frac {m(m+1)}{n}}x^{m}+{\frac {m(m+1)(m+2)}{n(n+1)}}x^{m+1}+\ldots .$

Je fais le premier membre égal à $p',$ $p'$ étant la fonction prime de $p,$ et je prends l’équation primitive ; j’ai

$p={\frac {n-1}{m-1}}x^{m-1}+x^{m}+{\frac {m}{n}}x^{m+1}+{\frac {m(m+1)}{n(n+1)}}x^{m+2}+\ldots .$

Je n’ajoute point de constante arbitraire ici, parce qu’elle peut être censée renfermée dans $p.$

Maintenant, en comparant cette nouvelle série avec la proposée, qu’on a supposée égale à $y,$ il est visible qu’on aura l’équation

$p={\frac {n-1}{m-1}}x^{m-1}+x^{m}y\,;$

prenant les fonctions primes, et substituant pour $p'$ sa valeur $y'x^{m-1}+(n-1)yx^{m-2},$ on aura cette équation du premier ordre linéaire en $y$

$(n-1)x^{m-2}+y'x^{m}+mx^{m-1}y=y'x^{m-1}+(n-1)yx^{m-2},$

laquelle se réduit à cette forme

$y'+{\frac {n-1-mx}{x(1-x)}}y={\frac {n-1}{x(1-x)}}.$

Cette équation étant susceptible de la méthode du n^o 55, on pourra donc trouver la valeur $y$ en $x,$ qui sera, par conséquent, la somme de la série proposée ; mais cette valeur devra contenir une constante arbitraire, qu’on déterminera de manière que $y$ soit égal à $1$ lorsque $x=0,$ comme il résulte de la série donnée.

Si la série n’avait contenu que des facteurs simples, comme

$1+{\frac {m}{n}}x+{\frac {m+1}{n+1}}x^{2}+{\frac {m+2}{n+2}}x^{3}+\ldots ,$

on eût trouvé, par les mêmes opérations,

$p={\frac {n-1}{m-1}}x^{m-1}+x^{m}+x^{m+1}+x^{m+2}+\ldots .$

Or on sait que

$1+x+x^{2}+\ldots ={\frac {1}{1-x}}\,;$

donc on aurait, dans ce cas,

$p={\frac {n-1}{m-1}}x^{m-1}+{\frac {x^{m}}{1-x}}\,;$

prenant les fonctions primes et substituant la valeur de $p',$ on aurait

$y'x^{m-1}+(n-1)yx^{m-2}=(n-1)x^{m-2}+{\frac {mx^{m-1}}{1-x}}+{\frac {x^{m}}{(1-x)^{2}}},$

savoir

$y'+{\frac {(n-1)y}{x}}={\frac {n-1}{x}}+{\frac {m}{1-x}}+{\frac {x}{(1-x)^{2}}},$

équation également linéaire du premier ordre.

Cette méthode s’applique à des séries plus compliquées et peut conduire à des équations linéaires d’un ordre supérieur au premier. J’ai cru devoir au moins l’indiquer, étant presque la seule méthode générale pour la sommation des suites.

66. Soit maintenant proposée l’équation

$y=\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+x^{3},$

dans laquelle on demande l’expression de $x$ en $y.$ Cette expression peut s’obtenir par la formule connue pour la résolution des équations du troisième degré. Voici comment on y peut parvenir par la théorie des fonctions.

En prenant les fonctions primes et secondes, on aura

$y'=\mathrm {A} +2\mathrm {B} x+3x^{2},\quad y''=2\mathrm {B} +6x\,;$

si donc je forme la quantité

$y+(m+nx)y'+\left(p+qx+rx^{2}\right)y'',$

où $m,n,p,q,r$ sont des coefficients arbitraires, j’aurai un quadrinôme

qui contiendra les puissances $x,x^{2}$ et $x^{3},$ et je pourrai faire évanouir les termes multipliés par chacune de ces puissances ; j’aurai ainsi une équation du second ordre de la forme

$y+(m+nx)y'+\left(p+qx+rx^{2}\right)y''=\mathrm {C} ,$

où $\mathrm {C}$ sera une quantité constante ; et cette équation renfermera encore deux coefficients indéterminés.

Je pourrai donc encore faire en sorte qu’étant multipliée par $2y'$ elle ait une équation primitive ; car, pour cela, il suffira de faire $q=2m,$ $r=n,$ et l’équation primitive sera

$y^{2}+\left(p+2mx+nx^{2}\right)y'^{2}=2\mathrm {C} y+a,$

$a$ étant une constante arbitraire qu’on déterminera, comme nous l’avons dit, en supposant $x=0$ et mettant pour $y$ et $y'$ leurs valeurs tirées de l’équation proposée. Or elle donne, dans ce cas, $y=0,$ $y'=\mathrm {A} \,;$ donc, faisant ces substitutions dans l’équation précédente, elle donnera $p\mathrm {A} ^{2}=a.$

Ainsi l’on aura cette équation en $y$ du premier ordre

$y^{2}+\left(p+2mx+nx^{2}\right)y'^{2}=2\mathrm {C} y+p\mathrm {A} ^{2},$

où $x$ ne monte qu’au second degré, circonstance sans laquelle on n’aurait rien gagné pour la détermination de $x$ en $y.$

Mais, avant d’aller plus loin, il faut satisfaire aux conditions, nécessaires pour que la quantité

$y+(m+nx)y'+\left(p+2mx+nx^{2}\right)y'',$

après la substitution des valeurs de $y,y',y'',$ devienne égale à une constante $\mathrm {C} .$ Cette substitution donne la quantité

$\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+x^{3}+(m+nx)\left(\mathrm {A} +2\mathrm {B} x+3x^{2}\right)+\left(p+2mx+nx^{2}\right)(2\mathrm {B} +6x)\,;$

développant, ordonnant les termes suivant les puissances de $x,$ et éga-

lant à $\mathrm {C}$ le terme sans $x$ et les autres à zéro, on aura

$m\mathrm {A} +2p\mathrm {B} =\mathrm {C} ,\quad (1+n)\mathrm {A} +6m\mathrm {B} +6p=0,$

$(1+4n)B+15m=0,\quad 1+9n=0,$

d’où l’on tire

$n=-{\frac {1}{9}},\quad m=-{\frac {\mathrm {B} }{27}},\quad p=\mathrm {{\frac {B^{2}-4A}{27}}\quad {\text{et}}\quad C={\frac {3B^{3}-9AB}{27}}} .$

Retenons, pour plus de simplicité, les quantités $p$ et $\mathrm {C} ,$ et substituons celles de $m$ et $n$ dans l’équation ci-dessus ; elle deviendra, en tirant la valeur de $y',$

$y'={\frac {3{\sqrt {p\mathrm {A} ^{2}+2\mathrm {C} y-y^{2}}}}{\sqrt {9p-{\frac {2\mathrm {B} }{3}}x-x^{2}}}}.$

Il faut maintenant en déduire l’équation primitive en $x$ et $y\,;$ mais, pour éviter les imaginaires, on doit distinguer deux cas, l’un où les radicaux sont réels, l’autre où ils sont imaginaires ; car, puisque toute valeur réelle de $x$ donne pour $y$ et $y'$ des valeurs réelles, il est visible que les deux radicaux de l’équation précédente seront réels ou imaginaires ensemble.

Supposons donc, en premier lieu, que ${\sqrt {p\mathrm {A} ^{2}+2\mathrm {C} y-y^{2}}}$ soit une quantité réelle ; il faudra donc que $p\mathrm {A} ^{2}+\mathrm {C} ^{2}>(y-\mathrm {C} )^{2}\,;$ par conséquent, on pourra supposer

$y-\mathrm {C} ={\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C^{2}} }}\sin z,$

ce qui donnera

${\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C} y-y^{2}}}={\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C^{2}} }}\cos z,$

et, prenant les fonctions primes,

$y'={\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C^{2}} }}z'\cos z\,;$

substituant ces valeurs dans l’équation précédente, elle deviendra, en divisant par $3,$

$\left(9p-{\frac {2\mathrm {B} }{3}}x-x^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}={\frac {z'}{3}},$

dont l’équation primitive peut être mise sous la forme

$x+{\frac {\mathrm {B} }{3}}={\sqrt {9p+{\frac {\mathrm {B} ^{2}}{9}}}}\sin \left({\frac {z}{3}}+\alpha \right),$

$\alpha$ étant une constante arbitraire qu’il faudra déterminer en sorte que $x=0$ donne $y=0,$ conformément à la proposée. Soit $a$ la valeur de $z$ lorsque $y=0\,;$ on aura donc les deux équations

$-\mathrm {C} ={\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C^{2}} }}\sin a,$

et

${\frac {\mathrm {B} }{3}}={\sqrt {9p+{\frac {\mathrm {B} ^{2}}{9}}}}\sin \left({\frac {a}{3}}+\alpha \right),$

par lesquelles on déterminera d’abord $a,$ ensuite $\alpha .$ Après quoi on déterminera $z$ par l’équation

$\sin z={\frac {y-\mathrm {C} }{\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C^{2}} }}},$

et l’on aura

$x=-{\frac {\mathrm {B} }{3}}+{\sqrt {9p+{\frac {\mathrm {B} ^{2}}{9}}}}\sin \left({\frac {z}{3}}+\alpha \right),$

et, comme au même sinus de $z$ répond aussi l’angle $z$ augmenté d’une ou de deux circonférences, on aura les trois valeurs de $x$ en prenant pour $z$ ces trois valeurs $z,\ z+c,\ z+2c,$ $c$ dénotant la circonférence du cercle.

C’est le cas qu’on appelle irréductible et où les trois racines sont réelles.

Supposons, en second lieu, que le radical ${\sqrt {p\mathrm {A} ^{2}+2\mathrm {C} y-y^{2}}}$ soit imaginaire ; il n’y aura qu’à multiplier le numérateur et le dénominateur de l’expression de $y'$ par ${\sqrt {-1}},$ et l’on aura

$y'={\cfrac {3{\sqrt {-p\mathrm {A} ^{2}-2\mathrm {C} y+y^{2}}}}{\sqrt {-9p+{\cfrac {2\mathrm {B} }{3}}x+x^{2}}}},$

quantité toute réelle.

Ici j’observe que, si l’on fait

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&{\frac {\mathrm {B} }{3}}+x+{\sqrt {-9p+{\frac {2\mathrm {B} }{3}}x+x^{2}}},\\\mathrm {Y} =&-\mathrm {C} +y+{\sqrt {-p\mathrm {A} ^{2}-2\mathrm {C} y+y^{2}}},\end{aligned}}$

et qu’on prenne les fonctions primes, en regardant toujours $y$ comme fonction de $x,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {X} '=&\mathrm {X} \left(-9p+{\frac {2\mathrm {B} }{3}}x+x^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}},\\\mathrm {Y} '=&y'\mathrm {Y} \left(-p\mathrm {A} ^{2}-2\mathrm {C} y+y^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}},\end{aligned}}$

de sorte qu’on pourra réduire l’équation précédente à cette forme

$\mathrm {{\frac {X'}{X}}={\frac {Y'}{3Y}}} ,$

dont les deux membres ont pour fonctions primitives $\operatorname {l} \mathrm {X}$ et ${\frac {1}{3}}\operatorname {l} \mathrm {Y} .$ On aura donc cette équation primitive

$\operatorname {l} \mathrm {X} ={\frac {1}{3}}\operatorname {l} \mathrm {Y} +\operatorname {l} b,$

$b$ étant une constante arbitraire, et, passant des logarithmes aux nombres, on aura

$\mathrm {X} =b{\sqrt[{3}]{\mathrm {Y} }}.$

Pour déterminer $b,$ on fera de nouveau $x=0$ et $y=0.$ Or $\mathrm {X}$ devient ${\frac {\mathrm {B} }{3}}+{\sqrt {-9p}},$ et $\mathrm {Y}$ devient $-\mathrm {C} +{\sqrt {-p\mathrm {A} ^{2}}}\,;$ donc on aura

$b={\cfrac {{\cfrac {1}{3}}\mathrm {B} +{\sqrt {-9p}}}{\sqrt[{3}]{-\mathrm {C} +{\sqrt {-p\mathrm {A} ^{2}}}}}}.$

Maintenant, ayant la valeur de $\mathrm {X}$ en $x,$ il est aisé d’en tirer $x\,;$ car, en carrant l’équation

${\sqrt {-9p+{\frac {2\mathrm {B} }{3}}x+x^{2}}}=\mathrm {X} -{\frac {\mathrm {B} }{3}}-x,$

on en déduira sur-le-champ

$x={\frac {\mathrm {\left(X-{\frac {1}{3}}B\right)} ^{2}+9p}{2\mathrm {X} }},$

par conséquent, en mettant pour $\mathrm {X}$ la valeur trouvée en $y,$ savoir $b{\sqrt[{3}]{\mathrm {Y} }},$ on aura

$x={\frac {\left(b{\sqrt[{3}]{\mathrm {Y} }}-{\frac {1}{3}}\mathrm {B} \right)^{2}+9p}{2b{\sqrt[{3}]{\mathrm {Y} }}}}.$

Cette expression ne peut donner, comme l’on voit, qu’une seule valeur réelle de $x\,;$ c’est le cas où l’équation a deux racines imaginaires.

Si l’on fait $\mathrm {B} =0,$ les formules qu’on vient de trouver dans les deux cas se simplifient beaucoup et se réduisent aux formules connues pour la résolution des équations du troisième degré, privées du second terme mais nous ne nous arrêterons pas davantage sur ce problème, qui appartient proprement à l’Algèbre, et que nous n’avons traité ici qu’en passant et pour montrer, par différentes applications, la manière d’employer l’algorithme des fonctions.