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Théorie des fonctions analytiques/Partie II/Chapitre 11

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Gauthier-Villars (Œuvres de Lagrange. Tome IXp. 280-295).
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Seconde partie


CHAPITRE XI.

Des plus grandes et des moindres ordonnées des surfaces courbes. Solution générale des questions de maximis et minimis. Manière de distinguer les maxima des minima dans les fonctions de plusieurs variables.

51. Si l’on demande les plus grandes et les moindres ordonnées d’une surface donnée, il est aisé de concevoir qu’elles ne peuvent répondre qu’aux points où le plan tangent devient parallèle au plan des et donc on aura, dans ces points, et, par conséquent (no 39),

ce qui ne peut avoir lieu qu’en faisant à la fois

Ce sont là les conditions nécessaires pour que l’ordonnée devienne un maximum ou un minimum.

Puisque peut représenter une fonction quelconque de et on en conclura, en général, que, pour qu’une fonction de deux variables devienne un maximum ou un minimum, il faut que ses deux fonctions primes relatives à chacune de ces variables soient nulles.

Mais on peut parvenir directement à cette conclusion par la considération des fonctions d’une seule variable, suivant la théorie du no 24, et trouver en même temps les conditions nécessaires pour que le maximum ou minimum ait lieu. En effet, étant fonction de et on peut supposer d’abord donné et chercher le maximum ou minimum de relativement à on aura pour cela l’équation

et ensuite pour le maximum et pour le minimum. Si donc on substitue dans la valeur de tirée de l’équation cette quantité deviendra une simple fonction de et sera déjà un maximum ou minimum relativement à Il n’y aura donc qu’à la rendre encore un maximum ou minimum relativement à la quantité qui avait été supposée constante ; or, devant maintenant être regardée comme une fonction de donnée par l’équation il est clair que la fonction prime de relativement à ne sera pas simplement mais et sa fonction seconde, relative aussi à sera en désignant toujours par et les fonctions primes et secondes de relativement à On aura donc

et, comme on a déjà cette seconde équation se séduira à de sorte qu’on aura, pour la détermination de et les deux conditions

comme plus haut.

Maintenant il faudra, de plus, que l’on ait pour le maximum, et pour le minimum ; mais, comme doit être déterminée par l’équation le sera par son équation prime

laquelle donne

Ainsi l’on aura, pour le maximum,

et, pour le minimum,

ou bien, puisque doit être aussi dans le premier cas et dans

le second, il faudra que l’on ait, tant pour le maximum que pour le minimum,

D’où l’on peut conclure que les valeurs de et tirées des équations et donneront un maximum ou un minimum suivant que l’on aura ou pourvu que l’on ait en même temps

ce qui emporte, comme l’on voit, la condition que et soient de même signe.

Donc, si ou il n’y aura ni maximum ni minimum, à moins que les fonctions tierces ne disparaissent aussi, auquel cas le jugement dépendra des fonctions quartes, et ainsi de suite.

Il ne suffit donc pas, pour l’existence du maximum ou minimum, que l’on ait et ou et comme on pourrait le conclure du Chapitre XI de la seconde Partie du Calcul différentiel d’Euler.

52. Il est facile d’appliquer la méthode précédente aux fonctions de trois variables. Supposons que soit fonction des variables regardant d’abord et comme constantes et seul comme variable ; on aura, suivant la notation déjà adoptée (no 92, Ire Partie),

pour la condition du maximum ou minimum, et ensuite pour le maximum et pour le minimum. L’équation donnera la valeur de en et qu’on substituera ou qu’on supposera substituée dans la fonction moyennant quoi cette fonction, ne contenant plus que les deux variables et retombera dans le cas que nous venons de résoudre.

Pour construire des formules générales, on remarquera que, si n’était qu’une fonction de et on aurait pour le maximum et le minimum les conditions

ensuite pour le maximum et pour le minimum et enfin

pour les deux cas. Mais, puisque contient de plus qui est elle-même une fonction de et les valeurs des fonctions désignées par ne seront pas simplement exprimées par ces quantités, mais il faudra y ajouter les termes qui doivent provenir de la quantité regardée comme fonction de et Ainsi, en prenant les fonctions primes et secondes de on trouvera que la quantité devient que la quantité devient que la quantité devient que la quantité devient et que la quantité devient

Donc on aura d’abord, pour le maximum ou minimum, les deux conditions

de sorte qu’à cause de on aura ces trois équations

c’est-à-dire les trois fonctions primes de relatives à chacune égale à zéro.

Ensuite, à cause de on aura

pour le maximum, et pour le minimum ; et pour l’un et l’autre

Mais, comme la valeur de en et dépend de l’équation on prendra ses deux équations primes suivant et pour avoir les valeurs de et de on aura donc

d’où l’on tire

On substituera donc ces valeurs, et, comme on a déjà trouvé pour le maximum, et pour le minimum, en multipliant la première condition par on aura une quantité qui devra toujours être Donc les conditions pour le maximum ou minimum se réduiront à ces trois-ci
pour le maximum pour le minimum,

et

On voit, par la marche de cette méthode, comment elle peut s’étendre à un plus grand nombre de variables, et l’on en peut d’abord conclure, en général, que l’on aura les équations du maximum ou minimum d’une fonction quelconque de plusieurs variables, en égalant à zéro les fonctions primes de cette fonction, prises relativement à chacune de ces variables, ce qui donnera autant d’équations que de variables. À l’égard des autres conditions nécessaires pour l’existence du maximum ou minimum, on les trouvera successivement par les principes et les formules que nous venons d’exposer.

53. Pour donner un exemple de la méthode de maximis et minimis, supposons qu’on demande la plus courte distance entre deux lignes droites données de position dans l’espace. Soit pour l’une des droites l’abscisse ses deux ordonnées seront de la forme et Soit pareillement pour l’autre droite l’abscisse prise sur le même axe ; les deux ordonnées, rapportées aussi aux mêmes axes que celles de la première droite, seront de la forme et Donc le carré de la distance entre les deux points qui répondent aux abscisses et sera exprimé par cette formule,

que nous ferons, pour plus de simplicité, égale à

En prenant les fonctions dérivées, on aura

Donc : 1o On aura, pour la détermination des deux inconnues et les équations

2o Puisque la valeur de est nécessairement positive, il ne pourra y avoir que le minimum, mais il faudra de plus que l’on ait la condition

savoir

Or c’est ce qui a lieu quelles que soient les valeurs de car la condition précédente peut se mettre sous cette forme :

Comme les équations en et sont linéaires, la détermination de ces quantités n’a aucune difficulté ; nous ne nous y arrêterons pas, d’autant que ce problème est susceptible d’une solution géométrique fort élégante.

54. On peut encore, dans la recherche des maxima et minima des fonctions de plusieurs indéterminées, considérer toutes les variables à la fois, ce qui est plus direct et plus lumineux. Soit, en effet,

la fonction proposée ; si l’on suppose que les quantités

aient déjà les valeurs convenables pour le maximum ou minimum, il faudra que, en substituant à la place de dans la fonction dont il s’agit, sa valeur devienne toujours plus petite dans le cas du maximum et toujours plus grande dans le cas du minimum, quelles que soient les valeurs de et quelque petites qu’elles soient c’est ce qui résulte de la nature même du maximum ou minimum.

Développons la fonction

suivant les puissances et les produits des quantités par les formules du théorème général (no 78, Ire Partie), et arrêtons-nous aux premiers termes de ce développement.

Si l’on désigne simplement (ainsi que nous l’avons pratiqué jusqu’ici) par les fonctions primes de la fonction prises relativement à considérés séparément, et qu’on désigne de plus par les fonctions secondes de la fonction

prises relativement à seul, à et , à seul, à et à et et ainsi de suite, on aura

Le coefficient désigne un nombre indéterminé compris entre et et qui sera le même dans la même fonction, mais pourra être différent dans les différentes fonctions.

Donc il faudra que la quantité

soit toujours positive pour le minimum et négative pour le maximum, en donnant à des valeurs quelconques aussi petites qu’on voudra. D’où l’on conclura d’abord, par un raisonnement analogue à celui du no 25, que cette condition ne pourra être remplie, à moins que les termes multipliés par les premières puissances de ne soient nuls chacun en particulier, ce qui donnera les équations

qui sont communes au maximum et au minimum, et qui, étant en même nombre que les indéterminées serviront à déterminer leurs valeurs.

55. Mais, pour que ces valeurs donnent, en effet, un maximum ou un minimum, il faudra encore que la quantité restante


soit toujours positive pour le minimum et négative pour le maximum, quelles que soient les valeurs de et quelque petites qu’elles puissent être.

Comme les fonctions qui multiplient les carrés et les produits des quantités renferment elles-mêmes ces quantités, il pourrait être difficile, et peut-être impossible, de déterminer les caractères nécessaires pour que la condition dont il s’agit ait lieu rigoureusement ; mais j’observe que, si l’on suppose ces fonctions deviennent indépendantes de et ont des valeurs déterminées, et l’on trouve alors, comme on le verra dans un moment, des conditions entre ces mêmes fonctions qui ne consistent que dans des inégalités entre des quantités composées de ces fonctions. Ces inégalités, étant supposées avoir lieu pour des valeurs déterminées de auront lieu encore pour les valeurs peu différentes tant que les quantités ne passeront pas certaines limites, qui pourront être aussi peu étendues qu’on voudra. Donc, puisque la condition exigée pour le maximum ou minimum n’a besoin d’être remplie que pour des valeurs quelconques de aussi petites qu’on voudra, il s’ensuit qu’il suffira de satisfaire à cette condition dans le cas de par conséquent, on pourra supposer tout de suite ce qui réduira les fonctions qui entrent dans la quantité ci-dessus à n’être que les fonctions secondes de la fonction donnée prises relativement à seul, à et etc.

56. Tout se réduit donc à trouver les conditions pour qu’une quantité de la forme

dans laquelle sont des quantités données et dénotent des quantités indéterminées, soit toujours nécessairement positive ou négative, quelles que soient les valeurs de

Supposons qu’elle doive être toujours positive ; il est évident que, pour le cas contraire, il suffira de prendre négativement les coefficients Puisque cette quantité ne doit jamais devenir négative, il s’ensuit qu’elle doit avoir un minimum positif ; et, réciproquement, si elle n’a que des minima positifs, elle ne pourra jamais devenir négative. Il n’y a donc qu’à chercher les conditions nécessaires pour que la quantité dont il s’agit ait des minima tous positifs.

Suivant l’esprit de la méthode exposée ci-dessus (no 52), on prendra les fonctions primes et secondes de la quantité proposée relativement à une seule variable, comme et l’on supposera la fonction prime égale à zéro et la fonction seconde positive. On aura ainsi l’équation

et la condition

On substituera la valeur de tirée de l’équation précédente dans la quantité proposée, laquelle deviendra ainsi de la forme

en faisant

On prendra de la même manière les fonctions primes et secondes de cette transformée relativement à une seule variable et, faisant la fonction prime égale à zéro et la fonction seconde positive, on aura de nouveau l’équation

et la condition

On substituera pareillement dans la transformée précédente la valeur de tirée de cette équation on aura la nouvelle transformée

dans laquelle les coefficients seront donnés en comme ceux-ci le sont en et, continuant le même procédé, on aura l’équation

et la condition et ainsi de suite.

Maintenant il est aisé de voir que la dernière de ces transformées, celle qui ne contiendra plus qu’une seule des indéterminées et qui sera par conséquent de la forme sera elle-même le minimum de la quantité proposée, d’où il s’ensuit que les conditions pour que cette quantité ait un minimum positif seront

et, comme les équations qui déterminent les valeurs de sont toutes linéaires, on en conclura que ce minimum sera le seul qui puisse avoir lieu. Ainsi, le problème est résolu rigoureusement.

Au reste, il est facile de voir que par ces différentes transformations la quantité proposée deviendra de la forme

laquelle sera évidemment toujours positive ou négative, suivant que les coefficients le seront tous à la fois, et l’on voit en même temps par cette forme que les quantités pourront être nulles, pourvu qu’elles ne le soient pas toutes à la fois.

Les conditions que nous venons de trouver deviendront donc celles du maximum ou minimum de la fonction en faisant, pour le minimum

et pour le maximum

Il est facile de voir l’accord de ces résultats avec ceux du no 52 ; mais la méthode précédente a l’avantage de fournir un moyen simple d’étendre ces résultats à un nombre quelconque de variables.

57. Les principes exposés jusqu’ici sur la théorie de maximis et minimis conduisent à cette conclusion générale Si, dans une fonction quelconque des variables on substitue à la place de ces variables les quantités et qu’on développe la fonction suivant les puissances et les produits des quantités les termes où ces quantités ne se trouveront qu’à la première dimension, étant égalés chacun séparément à zéro, donneront les équations nécessaires pour que la fonction proposée devienne un maximum ou minimum ; ensuite on considérera la quantité composée de tous les termes où formeront deux dimensions, et il faudra pour le minimum que cette quantité soit toujours positive, et pour le maximum toujours négative, quelles que puissent être les valeurs de

Si tous ces termes s’évanouissaient à la fois, il faudrait alors, pour l’existence du maximum ou minimum, que tous les termes où formeraient trois dimensions disparussent aussi à la fois, et que la quantité composée des termes où formeraient quatre dimensions fût toujours positive pour le minimum et toujours négative pour le maximum, ayant des valeurs quelconques ; et ainsi de suite ce qui répond, comme l’on voit, au théorème du no 25.

Nous avons donné ci-dessus un moyen simple pour trouver les conditions qui rendent une quantité de la forme

toujours positive ou négative. On pourrait, de la même manière, chercher celles qui rendraient toujours positives ou négatives des quantités de la forme

mais l’application de la méthode générale à ce cas serait sujette à des difficultés de calcul qui pourraient la rendre impraticable, et c’est là un problème d’Algèbre dont il serait à désirer qu’on pût avoir une solution complète.

58. Nous avons supposé jusqu’ici que les variables qui entrent dans la fonction sont indépendantes les unes des autres ; mais, s’il y avait entre elles une ou plusieurs équations, il faudrait commencer par éliminer, au moyen de ces équations, autant de variables dans la fonction proposée ; on chercherait ensuite la condition du maximum ou minimum par rapport aux variables qui seraient restées dans la fonction. C’est la méthode qui se présente naturellement ; mais on peut la simplifier beaucoup en conservant toutes les variables et réduisant l’élimination aux seules quantités

En effet, supposons qu’on ait entre les variables l’équation de condition

comme cette équation doit avoir lieu quelles que soient les valeurs de elle aura donc lieu aussi en mettant à la place de par conséquent, on aura, par un développement semblable à celui du no 78 (Ire Partie), l’équation

d’où l’on pourra tirer la valeur de en série, qu’on substituera dans le développement de la fonction qui doit être un maximum ou un minimum ou bien on ajoutera simplement à ce développement la quantité qui forme le premier membre de l’équation précédente, multipliée par une quantité quelconque indéterminée qui pourra même être de la forme

les coefficients étant indéterminés, et l’on égalera à zéro tous les termes qui contiendront la quantité ce qui servira à déterminer les inconnues

Comme les équations du maximum ou minimum résultent de l’évanouissement des termes où les quantités ne sont qu’à la première dimension, il suffira d’égaler à zéro chacun de ces termes, ce qui donnera sur-le-champ les équations

qu’on réduira ensuite à une de moins par l’élimination de l’inconnue À l’égard des termes où les quantités formeront deux dimensions, on déterminera, par les méthodes exposées ci-dessus, les conditions qui doivent avoir lieu entre les coefficients de ces termes, et l’on cherchera à satisfaire à ces conditions de la manière la plus générale, au moyen des quantités arbitraires

Nous ne faisons ici qu’indiquer ces procédés, dont il sera facile de faire l’application ; mais on peut les réduire à ce principe général : Lorsqu’une fonction de plusieurs variables doit être un maximum ou minimum, et qu’il y a entre ces variables une ou plusieurs équations, il suffira d’ajouter à la fonction proposée les fonctions qui doivent être nulles, multipliées chacune par une quantité indéterminée, et de chercher ensuite le maximum ou minimum comme si les variables étaient indépendantes ; les équations qu’on trouvera, combinées avec les équations données, serviront à déterminer toutes les inconnues.

59. On peut résoudre, par les mêmes principes, les questions où il s’agit de trouver des courbes qui jouissent, dans chacun de leurs points, de quelque propriété donnée de maximum ou minimum.

Supposons, par exemple, qu’on demande la courbe dans laquelle la quantité que nous avons nommée dans le problème du no 15 soit un maximum ou minimum à chaque point de la courbe. Cette quantité est exprimée par la fonction

et la question consiste à trouver la valeur de en qui rendra cette fonction un maximum ou minimum. Si les deux quantités et étaient indépendantes l’une de l’autre, on pourrait déterminer le maximum ou minimum relativement à chacune de ces variables ; mais, comme ces quantités dérivent l’une de l’autre et que leur relation demeure inconnue tant que l’une d’elles n’est pas une fonction déterminée de on ne peut chercher le maximum ou minimum que par rapport à l’une de ces quantités, et il est naturel de prendre pour variable la quantité qui détermine la position de la tangente, en regardant les coordonnées et comme données pour chaque point de la courbe.

On prendra donc les fonctions primes et secondes de la fonction proposée relativement à la quantité regardée comme seule variable, et, égalant à zéro la fonction prime, on aura sur-le-champ l’écluation

laquelle donne, comme dans le numéro cité,

pour l’équation de la courbe cherchée.

Ensuite on aura la fonction seconde

laquelle fait voir que le maximum aura lieu dans toute la partie de la courbe pour laquelle les deux quantités et seront de signes différents, et que le minimum aura lieu pour la partie où et seront de même signe ; de sorte que le maximum aura lieu pour toutes les valeurs de comprises entre les limites et et le minimum pour les valeurs de qui tomberont hors de ces limites.

L’équation trouvée pour la courbe étant du premier ordre, elle est susceptible d’une équation primitive avec une constante arbitraire, et, si on la met sous la forme

on en déduira sur-le-champ cette équation primitive,

et, passant des logarithmes aux nombres,

est une constante arbitraire. Cette équation est de la même forme que celle que nous avons trouvée dans l’endroit cité, ce qui doit être, puisqu’elles viennent l’une et l’autre de la même équation du premier ordre. En effet, l’équation trouvée ci-dessus pour le maximum ou minimum, étant multipliée par a pour équation primitive

étant une constante arbitraire, et celle-ci, combinée avec la même équation pour en éliminer donnera le résultat trouvé dans le même endroit.

Donc, rapprochant cette solution de celle du no 15, on en conclura, en général, que les sections coniques ont non-seulement la propriété, déjà trouvée, que chaque tangente coupe sur les perpendiculaires élevées aux deux extrémités de l’axe des parties dont le produit est constant, mais encore celle-ci, que la position de la tangente à chaque point de la courbe, regardé comme donné, est telle que ce même produit est un maximum pour l’ellipse et un minimum ou plutôt un maximum négatif pour l’hyperbole.

60. En général, si l’on demande la courbe dans laquelle une fonction donnée de sera un maximum ou minimum, on pourra chercher le maximum ou minimum relativement à chacune des quantités ce qui donnera autant de solutions différentes, et l’on aura toujours, généralement parlant, pour la courbe cherchée, une équation du même ordre que la fonction proposée.

Si cette fonction était une simple fonction des éléments du contact (no 10), en cherchant le maximum ou minimum relativement à la dernière des quantités on trouverait nécessairement la même équation que l’on aurait pour le problème dans lequel on supposerait cette même fonction égale à une constante ; c’est de quoi il est facile de se convaincre par l’analyse des nos 20 et 18. En effet, en égalant à zéro la fonction prime de prise relativement à la plus haute des fonctions dérivées on aura la même équation que si l’on prenait, en général, la fonction prime de l’équation

relativement à d’où l’on voit que ces deux genres de problèmes, quoique fort différents dans le fond, conduisent néanmoins aux mêmes résultats et sont, par conséquent, susceptibles des mêmes solutions. Ainsi, on pourra appliquer ici tout ce qui a été dit dans les endroits cités. L’exemple du numéro précédent est, comme l’on voit, un cas particulier de ces mêmes problèmes.


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