Théorie des fonctions analytiques/Partie II/Chapitre 14

Joseph-Louis Lagrange

Théorie des fonctions analytiques

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome IX, p. 322-335).

CHAPITRE XIV.

De la mesure des solidités et des surfaces des corps de figure donnée.

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77. Nous avons donné, dans le Chapitre VI, la manière d’exprimer par les fonctions les solidités et les surfaces des conoïdes formés par la révolution d’une courbe donnée autour d’un axe ; il nous reste à étendre cette analyse à tous les corps dont la surface est exprimée par une équation entre ses trois coordonnées.

Considérons d’abord un solide dont la surface soit exprimée par l’équation

$z=f(x,y)\,;$

son volume ou sa solidité sera exprimée en général par une fonction de $x$ et $y,$ que nous dénoterons par $\operatorname {F} (x,y).$ Désignons aussi par $\varphi (x,y)$ la fonction de $x,y$ qui exprime l’aire de la section de ce solide faite perpendiculairement à l’axe des $x$ et correspondante à l’abscisse $x\,;$ donc, en regardant $y$ comme un paramètre constant, et ne faisant varier que $x,$ on aura, par le n^o 27, l’équation

$\operatorname {F} '(x,y)=\varphi (x,y).$

Or la section, dont $\varphi (x,y)$ est l’aire, est une courbe dont les abscisses sont $y$ et les ordonnées perpendiculaires sont $z,$ et dont l’équation est

$z=f(x,y),$

en regardant maintenant $x$ comme un paramètre constant qui ne varie que d’une section à l’autre. Donc, en prenant $z$ à la place de $y$ et $y$ à

la place de $x,$ on aura (numéro cité)

$f(x,y)=\varphi _{_{'}}(x,y),$

l’accent mis au bas de la caractéristique $\varphi$ dénotant la fonction dérivée par rapport à $y,$ comme nous l’avons pratiqué jusqu’à présent.

On a donc les deux équations

$\operatorname {F} '(x,y)=\varphi (x,y)\quad {\text{et}}\quad \varphi _{_{'}}(x,y)=f(x,y),$

d’où, éliminant la fonction marquée par $\varphi _{_{'}}(x,y)$ après avoir pris les fonctions dérivées par rapport à $y$ de la première équation, on aura

$\operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)=f(x,y).$

Ainsi, pour avoir la fonction $\operatorname {F} (x,y)$ qui exprime la valeur ou la solidité du corps dont la surface est exprimée par l’équation

$z=f(x,y),$

il faudra prendre la double fonction primitive de $f(x,y)$ relativement à $x$ et à $y.$

78. On peut aussi parvenir directement à ce résultat par la considération suivante. Puisque $\operatorname {F} (x,y)$ représente en général la partie du corps qui répond aux coordonnées $x,y,$ il est clair que $\operatorname {F} (x+i,y)-\operatorname {F} (x,y)$ sera le segment compris entre les plans perpendiculaires à celui des $x,y$ qui répondent aux abscisses $x$ et $x+i$ et qui sont terminés par la même ordonnée $y.$ Donc

$\operatorname {F} (x+i,y+o)-\operatorname {F} (x,y+o)-\operatorname {F} (x+i,y)+\operatorname {F} (x,y)$

sera l’excès du segment qui est terminé par l’ordonnée $y+o$ sur celui qui est terminé par l’ordonnée $y$ et il est visible que cette différence n’est autre chose qu’un prisme dont la base est le rectangle $io,$ dont les arêtes sont les ordonnées $z$ de la surface qui répondent aux quatre angles de ce rectangle, c’est-à-dire les ordonnées $f(x,y),\ f(x+i,y),\ f(x,y+o),$ $f(x+i,y+o),$ et dont la base supérieure

est la partie de la surface interceptée entre ces quatre ordonnées. Or il est facile de voir que la solidité de ce pri\sine curviligne est nécessairement comprise entre celles des deux pri\sines rectangulaires dont la base est la même $io$ et dont les hauteurs sont la plus petite et la plus grande des quatre ordonnées dont nous venons de parler. Donc il faudra que la fonction $\operatorname {F} (x,y)$ soit telle que la valeur de la quantité

$\operatorname {F} (x+i,y+o)-\operatorname {F} (x+i,y)-\operatorname {F} (x,y+o)+\operatorname {F} (x,y)$

soit toujours comprise entre la plus grande et la plus petite valeur des quantités

$iof(x,y),\quad iof(x+i,y),\quad iof(x,y+o),\quad iof(x+i,y+o),$

quelque petites que soient les valeurs de $i$ et de $o.$

Développons les fonctions marquées par $\operatorname {F}$ suivant les formules du n^o 78 de la première Partie. En poussant la précision jusqu’aux troisièmes dimensions de $i$ et de $o,$ on aura la quantité

${\begin{aligned}io\operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)&+{\frac {i^{2}o}{2}}\operatorname {F} ''_{_{'}}\ (x+\lambda i,y+\lambda o)+{\frac {io^{2}}{2}}\operatorname {F} '_{_{''}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\\&+{\frac {i^{3}}{2.3}}\left[\operatorname {F} '''(x+\lambda i,y+\lambda o)-\operatorname {F} '''(x+\lambda i,y)\right]\\&+{\frac {o^{3}}{2.3}}\left[\operatorname {F} _{_{'''}}(x+\lambda i,y+\lambda o)-\operatorname {F} _{_{'''}}(x,y+\lambda o)\right].\end{aligned}}$

Développons de même les fonctions marquées par $f,$ mais en s’arrêtant aux premières dimensions de $i$ et de $o,$ à cause qu’elles sont déjà multipliées par $io\,;$ on aura les quatre quantités

${\begin{aligned}&iof(x,y),\\&iof(x,y)+i^{2}of'(x+\lambda i,y),\\&iof(x,y)+io^{2}f_{_{'}}(x,y+\lambda o),\\&iof(x,y)+i^{2}of'(x+\lambda i,y)+io^{2}f_{_{'}}(x,y+\lambda o),\end{aligned}}$

et il faudra que la première quantité soit renfermée entre la plus grande et la plus petite de ces quatre dernières, en prenant pour $i$ et $o$ des quantités aussi petites qu’on voudra. Le coefficient $\lambda$ peut être dif-

férent dans les différentes fonctions, mais il doit être renfermé entre les limites $o$ et $1.$

Or la différence de l’une à l’autre de celles-ci est, comme on voit, de l’ordre de $i^{2}o$ ou de $io^{2},$ c’est-à-dire du troisième ordre, en regardant $i$ et $o$ comme très-petites du premier. Mais la différence entre la première quantité et l’une quelconque des quatre dernières est

$io\left[\operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)-f(x,y)\right],$

avec des termes du troisième ordre ; donc, pour que cette différence soit toujours plus petite que la différence précédente, qui n’est que du troisième ordre, il est nécessaire que le premier terme, qui est du second ordre, soit nul ; autrement, il serait possible de prendre les accroissements $i$ et $o$ assez petits pour que ce premier terme surpassât tous les termes du troisième ordre et que par conséquent la première quantité tombât hors des limites formées par les quatre autres quantités. Il faudra donc que l’on ait

$io\left[\operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)-f(x,y)\right]=0,$

et, par conséquent,

$\operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)=f(x,y),$

comme nous l’avons trouvé plus haut.

79. Supposons maintenant que la fonction $\operatorname {F} (x,y)$ représente la mesure de la surface. Dans ce cas, il est clair que la quantité

$\operatorname {F} (x+i,y+o)-\operatorname {F} (x+i,y)-\operatorname {F} (x,y+o)+\operatorname {F} (x,y)$

représentera la portion de surface comprise entre les quatre faces du prisme droit qui a $io$ pour base.

Imaginons qu’aux extrémités des quatre ordonnées qui forment les arêtes de ce pri\sine on mène quatre plans tangents à la surface dans ces points ; on pourra prouver, par un raisonnement analogue à celui du n^o 29 relatif aux tangentes, que la portion de surface qui forme la base supérieure du pri\sine sera comprise entre la plus grande et la plus petite section du pri\sine, faites par les quatre plans tangents de la surface courbe.

Soit $\alpha$ l’angle que le plan tangent à l’extrémité de l’ordonnée $z$ fait avec l’axe des $x,y\,;$ on aura (n^o 39)

$\operatorname {tang} \alpha ={\sqrt {z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}.$

Or on sait, par la Géométrie, que la mesure de la projection d’un plan est égale à celle de ce plan multipliée par le cosinus de son inclinaison sur le plan de projection. Donc, puisque les sections du prisme dont il s’agit ont toutes pour projection le même rectangle $io,$ la mesure de la section faite par le plan qui touche la surface à l’extrémité de l’ordonnée $z$ sera ${\frac {io}{\cos \psi }}\,;$ mais on a $\cos \alpha ={\frac {1}{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}}\,;$ donc la mesure de cette section sera

$io{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}},$

savoir, en substituant $f(x,y)$ à $z,$

$io{\sqrt {1+\left[f'(x,y)\right]^{2}+\left[f_{_{'}}(x,y)\right]^{2}}}.$

Faisons, pour abréger, ${\sqrt {1+\left[f'(x,y)\right]^{2}+\left[f_{_{'}}(x,y)\right]^{2}}}=\varphi (x,y)\,;$ on aura

$io\varphi (x,y)$

pour la mesure de la section dont il s’agit, et, mettant $x+i,\ y+o$ à la place de $x,y,$ on aura celle des sections faites par les trois autres plans qui touchent la surface aux extrémités des ordonnées $f(x+i,y),$ $f(x,y+o)$ et $f(x+i,y+o).$ Donc il faudra que la quantité

$\operatorname {F} (x+i,y+o)-\operatorname {F} (x+i,y)-\operatorname {F} (x,y+o)+\operatorname {F} (x,y)$

soit toujours comprise entre la plus grande et la plus petite des quatre quantités

$io\varphi (x,y),\quad io\varphi (x+i,y),\quad io\varphi (x,y+o),\quad io\varphi (x+i,y+o),$

et, par une analyse semblable à celle du numéro précédent, on en conclura la condition

$\operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)=\varphi (x,y)={\sqrt {1+\left[f'(x,y)\right]^{2}+\left[f_{_{'}}(x,y)\right]^{2}}}.$

80. On voit par là que l’ordonnée $z$ d’une surface est la double fonction prime prise par rapport à $x$ et $y$ de la fonction qui exprime le volume ou la solidité du corps, et que la quantité ${\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}$ est la double fonction prime de la fonction qui exprime la surface elle-même.

Ainsi, l’ordonnée $z$ étant donnée en fonction de $x$ et $y,$ il faudra prendre sa double fonction primitive pour avoir la solidité et la double fonction primitive de ${\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}$ pour avoir la surface. On est libre de commencer par la fonction primitive relative à $x$ ou à $y\,;$ mais la première fonction primitive admettra pour constante une fonction de l’autre variable qu’on aura regardée comme constante, et il faudra déterminer cette fonction conformémentaux limites données de la surface. On déterminera ensuite, d’après ces limites, la première variable en fonction de la seconde, par rapport à laquelle on prendra de nouveau la fonction primitive.

81. Si, pour faciliter la recherche des doubles fonctions primitives ou pour d’autres vues, on voulait changer les variables $x,y$ en d’autres variables $t$ et $u,$ dont celles-là seraient des fonctions données, il faudrait, par les principes établis dans la première Partie (n^o 50), multiplier d’abord les fonctions regardées comme dérivées doubles par $x'y'\,;$ mais ensuite on ne pourrait pas substituer immédiatement les valeurs de $x',y'$ en $t'$ et $u',$ parce qu’en prenant la fonction primitive par rapport à l’une des variables l’autre doit être regardée comme constante.

Soit $f(x,y)$ la fonction dont il s’agit d’avoir la double fonction primitive pour changer les variables $x,y$ en d’autres variables $t$ et $u,$ on la mettra d’abord sous la forme $x'y'f(x,y).$ Supposons qu’à la place de la variable $x,$ par rapport à laquelle on veut prendre d’abord la fonction primitive en regardant $y$ comme constante, on substitue une fonction donnée de $t$ et de $y,$ $t$ étant une nouvelle variable qui remplacera $x.$

Soit $x=\varphi (t,y)\,;$ on aura, en ne faisant varier que $t,$

$x'=\varphi '(t),$

et la fonction proposée deviendra

$y'\varphi '(t)f(x,y),$

dont il faudra prendre la fonction primitive par rapport à $t,$ $y$ étant regardée comme constante, et ensuite par rapport à $y,$ $t$ étant regardée comme constante. Or on peut aussi substituer à la place de $y$ une autre variable $u$ et supposer, puisque $t$ est à son égard constante,

$y=\psi (t,u),$

ce qui donnera, en ne faisant varier que $u,$

$y'=\psi '(u).$

Ainsi la fonction proposée deviendra

$\varphi '(t)\psi '(u)f(x,y),$

laquelle ne renferme plus que $t$ et $u,$ à cause de

$x=\varphi (t,y)\quad y=\psi (t,u),$

et dont on pourra prendre la double fonction primitive par rapport à $t$ et à $u.$

Puisque $x=\varphi (t,y)$ et $y=\psi (t,u),$ on aura, après la substitution de $y,$ $x$ égale à une simple fonction de $t$ et $u,$ que nous dénoterons par $\chi (t,u),$ de manière que les transformations de $x$ et $y$ en $t$ et $u$ seront représentées par

$x=\chi (t,u),\quad y=\psi (t,u).$

Or l’équation identique

$\varphi (t,y)=\chi (t,u)$

donne, en faisant varier séparément $t$ et $u,$

${\begin{aligned}\varphi '(t,y)+\varphi '(y)\psi '(t)=&\chi '(t),\\\varphi '(y)\psi '(u)=&\chi '(u)\,:\end{aligned}}$

éliminant $\varphi '(y),$ on aura

$\varphi '(t,y)=\chi '(t)-{\frac {\psi '(t)\chi '(u)}{\psi '(u)}},$

et cette valeur, étant substituée dans la dernière transformée de la fonction proposée, donnera

$\left[\chi '(t)\psi '(u)-\chi '(u)\psi '(t)\right]f(x,y),$

qu’on peut mettre sous cette forme plus simple,

$(x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y')f(x,y),$

dans laquelle $x$ et $y$ peuvent être des fonctions quelconques de $t$ et $u,$ et où les traits supérieurs indiquent les fonctions dérivées par rapport à $t$ et les inférieurs indiquent les dérivées par rapport à $u.$

82. Ainsi, en regardant $z$ comme une fonction de $x$ et $y$ donnée par la nature de la surface du corps, et supposant qu’on substitue à la place de $x,y$ des fonctions quelconques de $t$ et $u,$ la solidité ou le volume du corps et sa surface seront représentés par les doubles fonctions primitives relatives à $t$ et $u$ des formules

$(x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y')z\quad {\text{et}}\quad (x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y'){\sqrt {1+(z')^{2}+(z_{_{'}})^{2}}},$

où il faut remarquer que les fonctions dérivées de $z$ doivent être prises par rapport à $x$ et $y\,;$ mais, si l’on substitue tout de suite dans $z,$ pour $x$ et $y,$ leurs valeurs en $t$ et $u,$ il est clair que $z$ deviendra une simple fonction de $t$ et $u,$ et voici comment on pourra exprimer les dérivées de $z$ par rapport à $x$ et $y$ par ses dérivées par rapport à $t$ et $u.$

Pour distinguer ces dérivées les unes des autres, nous renfermerons les premières entre des parenthèses. Ainsi $(z')$ et $(z_{_{'}})$ désigneront les dérivées de $z$ prises par rapport à $x$ et $y,$ et $z',$ $z_{_{'}}$ désigneront simplement les dérivées de $z$ prises par rapport à $t$ et $u,$ après la substitution des valeurs de $x,y,$ en $t$ et $u$ dans l’expression de $z.$ En regardant donc $z$ comme fonction de $x,y,$ et $x,y$ comme fonctions de $t,u,$ et prenant les dérivées séparément par rapport à $t$ et à $u,$ on aura, par les principes établis dans la première Partie,

${\begin{aligned}z'=&(z')x'+(z_{_{'}})y',\\z_{_{'}}=&(z')x_{_{'}}+(z_{_{'}})y_{_{'}},\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$(z')={\frac {z'y_{_{'}}-z_{_{'}}y'}{x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y'}},\quad (z_{_{'}})=-{\frac {z'x_{_{'}}-z_{_{'}}x'}{x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y'}}\,;$

ce sont les valeurs qu’il faudra substituer dans le radical

${\sqrt {1+(z')^{2}+(z_{_{'}})^{2}}},$

et, la substitution faite, on aura la formule

${\sqrt {\left(x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y'\right)^{2}+\left(z'x_{_{'}}-z_{_{'}}x'\right)^{2}+\left(z'y_{_{'}}-z_{_{'}}y'\right)^{2}}},$

dont la double fonction primitive, prise par rapport à $t$ et à $u,$ donnera la surface du corps, les variables $z,x,y$ étant maintenant regardées comme de simples fonctions de $t$ et $u.$

83. Ces expressions pour le volume et pour la surface d’un corps quelconque, dont les coordonnées $x,y,z$ sont supposées fonctions de $t$ et $u,$ étant traduites en langage différentiel, deviennent

$dtdu\left({\frac {dx}{dt}}{\frac {dy}{du}}-{\frac {dx}{du}}{\frac {dy}{dt}}\right)z$

et

$dtdu{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}{\frac {dy}{du}}-{\frac {dx}{du}}{\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}{\frac {dx}{du}}-{\frac {dz}{du}}{\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}{\frac {dy}{du}}-{\frac {dz}{du}}{\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}},$

et représentent les éléments infiniment petits du volume et de la surface, qu’il faut intégrer et compléter d’abord par rapport à l’une des deux variables $t,u,$ et ensuite par rapport à l’autre.

84. Pour donner une application de ces formules, nous supposerons que le corps, dont on cherche la solidité et la surface, soit un ellipsoïde quelconque dont les trois demi-axes soient $a,b,c\,;$ l’équation de sa surface entre les trois coordonnées rectangles $x,y,z,$ parallèles aux demi-axes $a,b,c,$ sera représentée ainsi,

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,$

d’où l’on aura $z$ en fonction de $x$ et $y.$

Mais on évitera l’irrationnalité de $z$ en prenant deux angles indéterminés $t$ et $u,$ et en faisant

$x=a\sin t\cos u,\quad y=b\sin t\sin u,\quad z=c\cos t\,;$

et, pour avoir le volume et la surface de tout l’ellipsoïde, il suffira, après les substitutions, de prendre les fonctions primitives séparément par rapport à $t$ et $u,$ depuis $t=0$ jusqu’à $t$ égal à deux angles droits et depuis $u=0$ jusqu’à $u$ égal à quatre angles droits car cette transformation des coordonnées de l’ellipsoïde, que M. Ivory paraît avoir employée le premier pour faciliter le calcul de l’attraction de ce solide (Transactions philosophiques de 1809, vol. XI), a l’avantage de rendre indépendantes les fonctions primitives relatives à $t$ et $u$ lorsque la double fonction primitive doit s’étendre à la surface entière.

En prenant les fonctions dérivées des $x,y,z$ par rapport à $t$ et à $u,$ on aura

${\begin{alignedat}{3}x'=&\quad \ a\cos t\cos u,\qquad &y'=&b\cos t\sin u,\qquad &z'=&-c\sin t,\\x_{_{'}}=&-a\sin t\sin u,&y_{_{'}}=&b\sin t\cos u,&z_{_{'}}=&0\,;\end{alignedat}}$

et de là on aura

${\begin{aligned}x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y'=&\quad \ ab\sin t\cos t,\\z'x_{_{'}}-z_{_{'}}x'=&\quad \ ac\sin ^{2}t\sin u,\\z'y_{_{'}}-z_{_{'}}y'=&-bc\sin ^{2}t\cos u,\end{aligned}}$

de sorte que les formules pour le volume et pour la surface de l’ellipsoïde deviendront

$abc\sin t\cos ^{2}t,\quad \sin t{\sqrt {a^{2}b^{2}\cos ^{2}t+c^{2}\left(a^{2}\sin ^{2}u+b^{2}\cos ^{2}u\right)\sin ^{2}t}},$

dont il faudra prendre les fonctions primitives depuis $t=0$ jusqu’à $t=\pi$ et de puis $u=0$ jusqu’à $u=2\pi ,$ $\pi$ étant la demi-périphérie.

85. Considérons d’abord la formule

$abc\sin t\cos ^{2}t$

pour le volume. En substituant $1-\sin ^{2}t$ à la place de $\cos ^{2}t$ et ensuite

${\frac {3}{4}}\sin t-{\frac {1}{4}}\sin 3t$

au lieu de $\sin ^{3}t\,;$ elle devient

${\frac {abc}{4}}(\sin t+\sin 3t),$

dont la fonction primitive, prise de manière qu’elle commence où $t=0,$ est

${\frac {abc}{4}}\left(1-\cos t+{\frac {1-\cos 3t}{3}}\right).$

Faisant $t=\pi ,$ ce qui donne $\cos t=-1$ et $\cos \psi 3t=-1,$ elle se réduit abc à ${\frac {2abc}{3}}.$

Il faut prendre encore la fonction primitive de celle-ci par rapport à $u$ depuis $u=0$ jusqu’à $u=2\pi \,;$ et comme la variable $u,$ dont la fonction prime est $1,$ ne s’y trouve pas, il n’y aura qu’à multiplier simplement par $2\pi ,$ ce qui donnera

${\frac {4abc}{3}}\pi$

pour la solidité ou le volume du sphéroïde entier dont $a,b,c$ sont les trois demi-axes.

86. Venons à la formule relative à la surface et supposons d’abord, pour la simplifier, $a=b,$ ce qui donne un sphéroïde de révolution autour de l’axe $2c\,;$ elle deviendra

$a\sin t{\sqrt {b^{2}\cos ^{2}t+c^{2}\sin ^{2}t}},$

où l’on voit que l’angle $u$ a disparu ; je conserve la lettre $b$ sous le signe, pour plus de généralité.

Faisons $\cos t=s,$ on aura $\sin t=-s'\,;$ d’ailleurson a $\sin ^{2}t=1-s^{2}\,;$ on aura ainsi la transformée

$-as'{\sqrt {c^{2}+\left(b^{2}-c^{2}\right)s^{2}}},$

dont il faudra prendre la fonction primitive depuis $s=1$ jusqu’à $s=-1.$

Soit $b^{2}-c^{2}=e^{2}\,;$ on aura la fonction primitive par rapport à $s,$

$-{\frac {as}{2}}{\sqrt {c^{2}+e^{2}s^{2}}}+{\frac {ac^{2}}{2e}}\operatorname {l} \left({\sqrt {c^{2}+e^{2}s^{2}}}-es\right)\,;$

et, faisant $s=1,$ elle deviense réduit à

$-{\frac {ab}{2}}+{\frac {ac^{2}}{2e}}\operatorname {l} (b-e)\,;$

et, faisant $s=-1,$ elle devient

${\frac {ab}{2}}+{\frac {ac^{2}}{2e}}\operatorname {l} (b+e).$

Donc la fonction primitive complète, relativement à $s$ ou à $t,$ sera

$ab+{\frac {ac^{2}}{2e}}\operatorname {l} {\frac {b+e}{b-e}}.$

Il faut de nouveau en prendre la fonction primitive relative à $u\,;$ et comme la variable $u$ ne s’y trouve pas, on se contentera de la multiplier par $2\pi \,;$ et, faisant maintenant $b=a,$ on aura, pour la surface entière du sphéroïde formé par la révolution d’une ellipse dont les demi-axes sont $a$ et $c$ autour du petit axe $2c,$ la formule

$2\pi a^{2}+{\frac {\pi ac^{2}}{e}}\operatorname {l} {\frac {a+e}{a-e}},$

où $e$ est l’excentricité $={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}.$

Pour que la valeur de $e$ soit réelle, il faut que $a>c,$ et, par conséquent, que le sphéroïde soit aplati et formé par la révolution de l’ellipse autour de son petit axe $2c.$

Si l’on voulait avoir la surface d’un sphéroïde allongé formé par la révolution d’une ellipse autour de son grand axe, il faudrait prendre $2c$ pour son grand axe : alors la valeur de $e$ deviendrait imaginaire. Soit pour ce cas, $c^{2}-a^{2}=\mathrm {E} ^{2}\,;$ on aura

$e=\mathrm {E} {\sqrt {-1}},$

et, passant des logarithmes imaginaires aux arcs réels par les formules

du n^o 22 (I^re Partie), on aura, pour la surface cherchée, la formule

$2\pi a^{2}+{\frac {2\pi ac^{2}}{\mathrm {E} }}\operatorname {angle} \left(\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {E} }{a}}\right).$

87. Si l’on n’avait pas fait $a=b,$ et qu’on eût supposé, en général,

$\mathrm {V} ^{2}={\frac {a^{2}\sin ^{2}u+b^{2}\cos ^{2}u}{a^{2}}},$

on eût eu, pour la fonction primitive relative à $t,$ la formule

$ab+{\frac {ac^{2}\mathrm {V} ^{2}}{2e}}\operatorname {l} {\frac {b+e}{b-e}},$

où

$e^{2}=b^{2}-c^{2}\mathrm {V} ^{2},$

et il aurait été impossible, dans l’état actuel de l’Analyse, de trouver la fonction primitive de celle-ci relative à $u.$ Mais on peut toujours avoir cette fonction par approximation lorsque la différence des demi-axes $a$ et $b$ est assez petite.

Soit ${\frac {b^{2}-a^{2}}{a^{2}}}=i\,;$ cette quantité étant positive ou négative, la quantité $\mathrm {V} ^{2}$ deviendra $1+icos^{2}u,$ et il n’y aura qu’à mettre, dans la formule précédente, $c^{2}\left(1+icos^{2}u\right)$ à la place de $c^{2}\mathrm {V} ^{2},$ ensuite développer par rapport à $i.$ Donc, si l’on suppose

${\frac {ac^{2}}{2{\sqrt {b^{2}-c^{2}}}}}\operatorname {l} {\frac {b+{\sqrt {b^{2}-c^{2}}}}{b-{\sqrt {b^{2}-c^{2}}}}}=f(c^{2}),$

on aura, en développant par les fonctions dérivées relatives à $c^{2},$ la série

$ab+f\left(c^{2}\right)+f'\left(c^{2}\right)c^{2}icos^{2}u+{\frac {1}{2}}f''\left(c^{2}\right)c^{4}i^{2}cos^{4}u+{\frac {1}{2.3}}f'''\left(c^{2}\right)c^{6}i^{3}cos^{6}u+\ldots ,$

dont il faudra prendre les fonctions primitives relatives à $u$ depuis $u=0$ jusqu’à $u=2\pi .$

Désignons par $2\pi \alpha ,2\pi \beta ,2\pi \gamma ,\ldots$ les fonctions primitives de $cos^{2}u,$ $cos^{4}u,\ cos^{6}u,\ \ldots$ prises entre ces limites ; on aura, pour la surface de l’ellipsoïde dont $a,b,c$ sont les trois demi-axes, l’expression

$2\pi \left[ab+f\left(c^{2}\right)+\alpha c^{2}if'\left(c^{2}\right)+{\frac {1}{2}}\beta c^{4}i^{2}f''\left(c^{2}\right)+{\frac {1}{2.3}}\gamma c^{6}i^{3}f'''\left(c^{2}\right)+\ldots \right],$

série qui sera d’autant plus convergente que la quantité $i$ sera plus petite.

À l’égard des coefficients $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ il est facile de les déterminer en résolvant les puissances de $\cos u$ en cosinus d’angles multiples de $u$ par le moyen de l’expression exponentielle imaginaire de $\cos u$ (n^o 22, I^re Partie), et, comme les cosinus ont pour fonctions primitives les sinus correspondants, lesquels deviennent nuls aux deux extrémités où $u=0$ et $u=2\pi ,$ il s’ensuit qu’il ne restera que les termes indépendants de $u,$ multipliés par $2\pi ,$ où il est facile de voir que ces termes ne sont que les coefficients du terme moyen du binôme, élevé à la deuxième, à la quatrième, à la sixième, etc. puissance, divisé par la même puissance de $2.$ Ainsi l’on aura

$\alpha ={\frac {2}{4}},\quad \beta ={\frac {4.3}{4.8}},\quad \gamma ={\frac {6.5.4}{4.8.12}},\quad \ldots .$